Решете 2x+ky=6text{and}px+3y=3

$$2 x + k y = 6 \text { and } p x + 3 y = 3$$

Реши за x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{3\left(6-k\right)}{6-kp}\text{, }y=-\frac{6\left(p-1\right)}{6-kp}\text{, }&p=0\text{ or }k\neq \frac{6}{p}\\x=3\left(1-y\right)\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&k=6\text{ and }p=1\end{matrix}\right,$$

Чекори за користење замена

За да решите две равенки со помош на замена, прво решете една од равенките за една од променливите. Потоа заменете го резултатот за променливата во другата равенка.

$$2x+ky=6,px+3y=3$$

Изберете една од равенките и најдете решение за x со изолирање на x на левата страна од знакот за еднакво.

$$2x+ky=6$$

Одземање на ky од двете страни на равенката.

$$2x=\left(-k\right)y+6$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(\left(-k\right)y+6\right)$$

Множење на \frac{1}{2} со -ky+6.

$$x=\left(-\frac{k}{2}\right)y+3$$

Заменете го x со -\frac{ky}{2}+3 во другата равенка, px+3y=3.

$$p\left(\left(-\frac{k}{2}\right)y+3\right)+3y=3$$

Множење на p со -\frac{ky}{2}+3.

$$\left(-\frac{kp}{2}\right)y+3p+3y=3$$

Собирање на -\frac{pky}{2} и 3y.

$$\left(-\frac{kp}{2}+3\right)y+3p=3$$

Одземање на 3p од двете страни на равенката.

$$\left(-\frac{kp}{2}+3\right)y=3-3p$$

Поделете ги двете страни со -\frac{pk}{2}+3.

$$y=\frac{6\left(1-p\right)}{6-kp}$$

Заменете го y со \frac{6\left(1-p\right)}{-pk+6} во x=\left(-\frac{k}{2}\right)y+3. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$x=\left(-\frac{k}{2}\right)\times \frac{6\left(1-p\right)}{6-kp}+3$$

Множење на -\frac{k}{2} со \frac{6\left(1-p\right)}{-pk+6}.

$$x=-\frac{3k\left(1-p\right)}{6-kp}+3$$

Собирање на 3 и -\frac{3k\left(1-p\right)}{-pk+6}.

$$x=\frac{3\left(6-k\right)}{6-kp}$$

Системот е решен сега.

$$x=\frac{3\left(6-k\right)}{6-kp},y=\frac{6\left(1-p\right)}{6-kp}$$

Чекори за користење матрици

Ставете ги равенките во стандардна форма и потоа користете матрици за решавање на системот равенки.

$$2x+ky=6,px+3y=3$$

Пишување на равенките во форма на матрица.

$$\left(\begin{matrix}2&k\\p&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Помножете ја равенката налево со обратната матрица на \left(\begin{matrix}2&k\\p&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\p&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&k\\p&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\p&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Производот од матрицата и нејзината спротивна вредност е идентитетска матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\p&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Помножете ги матриците на левата страна од знакот за еднакво.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\p&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), па равенката во матрицата може да се препише како проблем за множење матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-kp}&-\frac{k}{2\times 3-kp}\\-\frac{p}{2\times 3-kp}&\frac{2}{2\times 3-kp}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6-kp}&-\frac{k}{6-kp}\\-\frac{p}{6-kp}&\frac{2}{6-kp}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Множење на матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6-kp}\times 6+\left(-\frac{k}{6-kp}\right)\times 3\\\left(-\frac{p}{6-kp}\right)\times 6+\frac{2}{6-kp}\times 3\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(k-6\right)}{kp-6}\\\frac{6\left(p-1\right)}{kp-6}\end{matrix}\right)$$

Извлекување на елементите на матрицата x и y.

$$x=\frac{3\left(k-6\right)}{kp-6},y=\frac{6\left(p-1\right)}{kp-6}$$

Чекори за користење елиминација

За да се реши со елиминација, коефициентите на една од променливите мора да бидат исти во двете равенки со цел променливата да се анулира кога едната равенка ќе се одземе од другата.

$$2x+ky=6,px+3y=3$$

За да ги направите 2x и px исти, помножете ги сите членови од двете страни на првата равенка со p и сите членови од двете страни на втората со 2.

$$p\times 2x+pky=p\times 6,2px+2\times 3y=2\times 3$$

Поедноставување.

$$2px+kpy=6p,2px+6y=6$$

Одземете 2px+6y=6 од 2px+kpy=6p со одземање на сличните членови од двете страни на знакот за еднакво.

$$2px+\left(-2p\right)x+kpy-6y=6p-6$$

Собирање на 2px и -2px. Термините 2px и -2px се анулираат, оставајќи равенка само со една променлива што може да се реши.

$$kpy-6y=6p-6$$

Собирање на pky и -6y.

$$\left(kp-6\right)y=6p-6$$

Поделете ги двете страни со pk-6.

$$y=\frac{6\left(p-1\right)}{kp-6}$$

Заменете го y со \frac{6\left(-1+p\right)}{pk-6} во px+3y=3. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$px+3\times \frac{6\left(p-1\right)}{kp-6}=3$$

Множење на 3 со \frac{6\left(-1+p\right)}{pk-6}.

$$px+\frac{18\left(p-1\right)}{kp-6}=3$$

Одземање на \frac{18\left(-1+p\right)}{pk-6} од двете страни на равенката.

$$px=\frac{3p\left(k-6\right)}{kp-6}$$

Поделете ги двете страни со p.

$$x=\frac{3\left(k-6\right)}{kp-6}$$

Системот е решен сега.

$$x=\frac{3\left(k-6\right)}{kp-6},y=\frac{6\left(p-1\right)}{kp-6}$$

Реши за x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{3\left(6-k\right)}{6-kp}\text{, }y=-\frac{6\left(p-1\right)}{6-kp}\text{, }&p=0\text{ or }k\neq \frac{6}{p}\\x=3\left(1-y\right)\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&k=6\text{ and }p=1\end{matrix}\right,$$

Чекори за користење замена

За да решите две равенки со помош на замена, прво решете една од равенките за една од променливите. Потоа заменете го резултатот за променливата во другата равенка.

$$2x+ky=6,px+3y=3$$

Изберете една од равенките и најдете решение за x со изолирање на x на левата страна од знакот за еднакво.

$$2x+ky=6$$

Одземање на ky од двете страни на равенката.

$$2x=\left(-k\right)y+6$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(\left(-k\right)y+6\right)$$

Множење на \frac{1}{2} со -ky+6.

$$x=\left(-\frac{k}{2}\right)y+3$$

Заменете го x со -\frac{ky}{2}+3 во другата равенка, px+3y=3.

$$p\left(\left(-\frac{k}{2}\right)y+3\right)+3y=3$$

Множење на p со -\frac{ky}{2}+3.

$$\left(-\frac{kp}{2}\right)y+3p+3y=3$$

Собирање на -\frac{pky}{2} и 3y.

$$\left(-\frac{kp}{2}+3\right)y+3p=3$$

Одземање на 3p од двете страни на равенката.

$$\left(-\frac{kp}{2}+3\right)y=3-3p$$

Поделете ги двете страни со -\frac{pk}{2}+3.

$$y=\frac{6\left(1-p\right)}{6-kp}$$

Заменете го y со \frac{6\left(1-p\right)}{-pk+6} во x=\left(-\frac{k}{2}\right)y+3. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$x=\left(-\frac{k}{2}\right)\times \frac{6\left(1-p\right)}{6-kp}+3$$

Множење на -\frac{k}{2} со \frac{6\left(1-p\right)}{-pk+6}.

$$x=-\frac{3k\left(1-p\right)}{6-kp}+3$$

Собирање на 3 и -\frac{3k\left(1-p\right)}{-pk+6}.

$$x=\frac{3\left(6-k\right)}{6-kp}$$

Системот е решен сега.

$$x=\frac{3\left(6-k\right)}{6-kp},y=\frac{6\left(1-p\right)}{6-kp}$$

Чекори за користење матрици

Ставете ги равенките во стандардна форма и потоа користете матрици за решавање на системот равенки.

$$2x+ky=6,px+3y=3$$

Пишување на равенките во форма на матрица.

$$\left(\begin{matrix}2&k\\p&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Помножете ја равенката налево со обратната матрица на \left(\begin{matrix}2&k\\p&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\p&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&k\\p&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\p&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Производот од матрицата и нејзината спротивна вредност е идентитетска матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\p&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Помножете ги матриците на левата страна од знакот за еднакво.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\p&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), па равенката во матрицата може да се препише како проблем за множење матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-kp}&-\frac{k}{2\times 3-kp}\\-\frac{p}{2\times 3-kp}&\frac{2}{2\times 3-kp}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6-kp}&-\frac{k}{6-kp}\\-\frac{p}{6-kp}&\frac{2}{6-kp}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Множење на матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6-kp}\times 6+\left(-\frac{k}{6-kp}\right)\times 3\\\left(-\frac{p}{6-kp}\right)\times 6+\frac{2}{6-kp}\times 3\end{matrix}\right)$$

Направете аритметичко пресметување.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(k-6\right)}{kp-6}\\\frac{6\left(p-1\right)}{kp-6}\end{matrix}\right)$$

Извлекување на елементите на матрицата x и y.

$$x=\frac{3\left(k-6\right)}{kp-6},y=\frac{6\left(p-1\right)}{kp-6}$$

Чекори за користење елиминација

За да се реши со елиминација, коефициентите на една од променливите мора да бидат исти во двете равенки со цел променливата да се анулира кога едната равенка ќе се одземе од другата.

$$2x+ky=6,px+3y=3$$

За да ги направите 2x и px исти, помножете ги сите членови од двете страни на првата равенка со p и сите членови од двете страни на втората со 2.

$$p\times 2x+pky=p\times 6,2px+2\times 3y=2\times 3$$

Поедноставување.

$$2px+kpy=6p,2px+6y=6$$

Одземете 2px+6y=6 од 2px+kpy=6p со одземање на сличните членови од двете страни на знакот за еднакво.

$$2px+\left(-2p\right)x+kpy-6y=6p-6$$

Собирање на 2px и -2px. Термините 2px и -2px се анулираат, оставајќи равенка само со една променлива што може да се реши.

$$kpy-6y=6p-6$$

Собирање на pky и -6y.

$$\left(kp-6\right)y=6p-6$$

Поделете ги двете страни со pk-6.

$$y=\frac{6\left(p-1\right)}{kp-6}$$

Заменете го y со \frac{6\left(-1+p\right)}{pk-6} во px+3y=3. Бидејќи равенката што ќе ја добиете содржи само една променлива, може директно да најдете решение за x.

$$px+3\times \frac{6\left(p-1\right)}{kp-6}=3$$

Множење на 3 со \frac{6\left(-1+p\right)}{pk-6}.

$$px+\frac{18\left(p-1\right)}{kp-6}=3$$

Одземање на \frac{18\left(-1+p\right)}{pk-6} од двете страни на равенката.

$$px=\frac{3p\left(k-6\right)}{kp-6}$$

Поделете ги двете страни со p.

$$x=\frac{3\left(k-6\right)}{kp-6}$$

Системот е решен сега.

$$x=\frac{3\left(k-6\right)}{kp-6},y=\frac{6\left(p-1\right)}{kp-6}$$