Решете 2n^2-7n-345=0

$$2 n ^ { 2 } - 7 n - 345 = 0$$

Реши за n

$$n = -\frac{23}{2} = -11\frac{1}{2} = -11,5$$

$$n=15$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 2n^{2}+an+bn-345. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-7 ab=2\left(-345\right)=-690$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -690.

$$1,-690 2,-345 3,-230 5,-138 6,-115 10,-69 15,-46 23,-30$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-690=-689 2-345=-343 3-230=-227 5-138=-133 6-115=-109 10-69=-59 15-46=-31 23-30=-7$$

Решението е парот што дава збир -7.

$$a=-30 b=23$$

Препиши го 2n^{2}-7n-345 како \left(2n^{2}-30n\right)+\left(23n-345\right).

$$\left(2n^{2}-30n\right)+\left(23n-345\right)$$

Исклучете го факторот 2n во првата група и 23 во втората група.

$$2n\left(n-15\right)+23\left(n-15\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин n-15 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(n-15\right)\left(2n+23\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги n-15=0 и 2n+23=0.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$2n^{2}-7n-345=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 2 за a, -7 за b и -345 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

Квадрат од -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

Множење на -4 со 2.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

Множење на -8 со -345.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+2760}}{2\times 2}$$

Собирање на 49 и 2760.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{2809}}{2\times 2}$$

Вадење квадратен корен од 2809.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±53}{2\times 2}$$

Спротивно на -7 е 7.

$$n=\frac{7±53}{2\times 2}$$

Множење на 2 со 2.

$$n=\frac{7±53}{4}$$

Сега решете ја равенката n=\frac{7±53}{4} кога ± ќе биде плус. Собирање на 7 и 53.

$$n=\frac{60}{4}$$

Делење на 60 со 4.

$$n=15$$

Сега решете ја равенката n=\frac{7±53}{4} кога ± ќе биде минус. Одземање на 53 од 7.

$$n=-\frac{46}{4}$$

Намалете ја дропката \frac{-46}{4} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$n=-\frac{23}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$2n^{2}-7n-345=0$$

Додавање на 345 на двете страни на равенката.

$$2n^{2}-7n-345-\left(-345\right)=-\left(-345\right)$$

Ако одземете -345 од истиот број, ќе остане 0.

$$2n^{2}-7n=-\left(-345\right)$$

Одземање на -345 од 0.

$$2n^{2}-7n=345$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$\frac{2n^{2}-7n}{2}=\frac{345}{2}$$

Ако поделите со 2, ќе се врати множењето со 2.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n=\frac{345}{2}$$

Поделете го -\frac{7}{2}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{7}{4}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{7}{4} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{345}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{7}{4} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}=\frac{345}{2}+\frac{49}{16}$$

Соберете ги \frac{345}{2} и \frac{49}{16} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}=\frac{2809}{16}$$

Фактор n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{2809}{16}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2809}{16}}$$

Поедноставување.

$$n-\frac{7}{4}=\frac{53}{4} n-\frac{7}{4}=-\frac{53}{4}$$

Додавање на \frac{7}{4} на двете страни на равенката.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$