Решете 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Реши за k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$k=-1$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Додај 7 на двете страни.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 2k^{2}+ak+bk+7. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е позитивно, и a и b се позитивни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 14.

$$1,14 2,7$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1+14=15 2+7=9$$

Решението е парот што дава збир 9.

$$a=2 b=7$$

Препиши го 2k^{2}+9k+7 како \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Исклучете го факторот 2k во првата група и 7 во втората група.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин k+1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги k+1=0 и 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Додавање на 7 на двете страни на равенката.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Ако одземете -7 од истиот број, ќе остане 0.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Одземање на -7 од 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 2 за a, 9 за b и 7 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Квадрат од 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Множење на -4 со 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Множење на -8 со 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Собирање на 81 и -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Вадење квадратен корен од 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Множење на 2 со 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Сега решете ја равенката k=\frac{-9±5}{4} кога ± ќе биде плус. Собирање на -9 и 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Делење на -4 со 4.

$$k=-1$$

Сега решете ја равенката k=\frac{-9±5}{4} кога ± ќе биде минус. Одземање на 5 од -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Намалете ја дропката \frac{-14}{4} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$k=-\frac{7}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

Ако поделите со 2, ќе се врати множењето со 2.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Поделете го \frac{9}{2}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{9}{4}. Потоа додајте го квадратот од \frac{9}{4} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Кренете \frac{9}{4} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Соберете ги -\frac{7}{2} и \frac{81}{16} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Фактор k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Поедноставување.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Одземање на \frac{9}{4} од двете страни на равенката.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$