Решете 2x^2-14x-54=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x-54=0$$

Реши за x

$$x = \frac{\sqrt{157} + 7}{2} \approx 9,764982043$$

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}\approx -2,764982043$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 2 за a, -14 за b и -54 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Квадрат од -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Множење на -4 со 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Множење на -8 со -54.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+432}}{2\times 2}$$

Собирање на 196 и 432.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{628}}{2\times 2}$$

Вадење квадратен корен од 628.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Спротивно на -14 е 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Множење на 2 со 2.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} кога ± ќе биде плус. Собирање на 14 и 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}+14}{4}$$

Делење на 14+2\sqrt{157} со 4.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} кога ± ќе биде минус. Одземање на 2\sqrt{157} од 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{157}}{4}$$

Делење на 14-2\sqrt{157} со 4.

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Додавање на 54 на двете страни на равенката.

$$2x^{2}-14x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

Ако одземете -54 од истиот број, ќе остане 0.

$$2x^{2}-14x=-\left(-54\right)$$

Одземање на -54 од 0.

$$2x^{2}-14x=54$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=\frac{54}{2}$$

Ако поделите со 2, ќе се врати множењето со 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=\frac{54}{2}$$

Делење на -14 со 2.

$$x^{2}-7x=\frac{54}{2}$$

Делење на 54 со 2.

$$x^{2}-7x=27$$

Поделете го -7, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{7}{2}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{7}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{7}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=27+\frac{49}{4}$$

Собирање на 27 и \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{157}{4}$$

Фактор x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Додавање на \frac{7}{2} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$