Решете 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Реши за x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=8$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 2x^{2}+ax+bx-40. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Решението е парот што дава збир -11.

$$a=-16 b=5$$

Препиши го 2x^{2}-11x-40 како \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Исклучете го факторот 2x во првата група и 5 во втората група.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-8 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-8=0 и 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 2 за a, -11 за b и -40 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Квадрат од -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Множење на -4 со 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Множење на -8 со -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Собирање на 121 и 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Вадење квадратен корен од 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

Спротивно на -11 е 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Множење на 2 со 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{11±21}{4} кога ± ќе биде плус. Собирање на 11 и 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Делење на 32 со 4.

$$x=8$$

Сега решете ја равенката x=\frac{11±21}{4} кога ± ќе биде минус. Одземање на 21 од 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Намалете ја дропката \frac{-10}{4} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Додавање на 40 на двете страни на равенката.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Ако одземете -40 од истиот број, ќе остане 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Одземање на -40 од 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Ако поделите со 2, ќе се врати множењето со 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Делење на 40 со 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Поделете го -\frac{11}{2}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{11}{4}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{11}{4} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{11}{4} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Собирање на 20 и \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Фактор x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Додавање на \frac{11}{4} на двете страни на равенката.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$