Решете 2x^2+x+3=0

$$2 { x }^{ 2 } +x+3=0$$

Реши за x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}\approx -0,25+1,198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}\approx -0,25-1,198957881i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 2 за a, 1 за b и 3 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Квадрат од 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Множење на -4 со 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\times 3}}{2\times 2}$$

Множење на -8 со 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24}}{2\times 2}$$

Собирање на 1 и -24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Вадење квадратен корен од -23.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Множење на 2 со 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4} кога ± ќе биде плус. Собирање на -1 и i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4} кога ± ќе биде минус. Одземање на i\sqrt{23} од -1.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Одземање на 3 од двете страни на равенката.

$$2x^{2}+x+3-3=-3$$

Ако одземете 3 од истиот број, ќе остане 0.

$$2x^{2}+x=-3$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=-\frac{3}{2}$$

Ако поделите со 2, ќе се врати множењето со 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Поделете го \frac{1}{2}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{1}{4}. Потоа додајте го квадратот од \frac{1}{4} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Кренете \frac{1}{4} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

Соберете ги -\frac{3}{2} и \frac{1}{16} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{23}{16}$$

Фактор x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Одземање на \frac{1}{4} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$