Решете 18k^2+25k+8=0

$$18 k ^ { 2 } + 25 k + 8 = 0$$

Реши за k

$$k=-\frac{8}{9}\approx -0,888888889$$

$$k=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 18k^{2}+ak+bk+8. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=25 ab=18\times 8=144$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е позитивно, и a и b се позитивни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Решението е парот што дава збир 25.

$$a=9 b=16$$

Препиши го 18k^{2}+25k+8 како \left(18k^{2}+9k\right)+\left(16k+8\right).

$$\left(18k^{2}+9k\right)+\left(16k+8\right)$$

Исклучете го факторот 9k во првата група и 8 во втората група.

$$9k\left(2k+1\right)+8\left(2k+1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 2k+1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(2k+1\right)\left(9k+8\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 2k+1=0 и 9k+8=0.

$$k=-\frac{1}{2} k=-\frac{8}{9}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$18k^{2}+25k+8=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 18 за a, 25 за b и 8 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 18\times 8}}{2\times 18}$$

Квадрат од 25.

$$k=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 18\times 8}}{2\times 18}$$

Множење на -4 со 18.

$$k=\frac{-25±\sqrt{625-72\times 8}}{2\times 18}$$

Множење на -72 со 8.

$$k=\frac{-25±\sqrt{625-576}}{2\times 18}$$

Собирање на 625 и -576.

$$k=\frac{-25±\sqrt{49}}{2\times 18}$$

Вадење квадратен корен од 49.

$$k=\frac{-25±7}{2\times 18}$$

Множење на 2 со 18.

$$k=\frac{-25±7}{36}$$

Сега решете ја равенката k=\frac{-25±7}{36} кога ± ќе биде плус. Собирање на -25 и 7.

$$k=-\frac{18}{36}$$

Намалете ја дропката \frac{-18}{36} до најниските услови со извлекување и откажување на 18.

$$k=-\frac{1}{2}$$

Сега решете ја равенката k=\frac{-25±7}{36} кога ± ќе биде минус. Одземање на 7 од -25.

$$k=-\frac{32}{36}$$

Намалете ја дропката \frac{-32}{36} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$k=-\frac{8}{9}$$

Равенката сега е решена.

$$k=-\frac{1}{2} k=-\frac{8}{9}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$18k^{2}+25k+8=0$$

Одземање на 8 од двете страни на равенката.

$$18k^{2}+25k+8-8=-8$$

Ако одземете 8 од истиот број, ќе остане 0.

$$18k^{2}+25k=-8$$

Поделете ги двете страни со 18.

$$\frac{18k^{2}+25k}{18}=-\frac{8}{18}$$

Ако поделите со 18, ќе се врати множењето со 18.

$$k^{2}+\frac{25}{18}k=-\frac{8}{18}$$

Намалете ја дропката \frac{-8}{18} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$k^{2}+\frac{25}{18}k=-\frac{4}{9}$$

Поделете го \frac{25}{18}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{25}{36}. Потоа додајте го квадратот од \frac{25}{36} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$k^{2}+\frac{25}{18}k+\left(\frac{25}{36}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(\frac{25}{36}\right)^{2}$$

Кренете \frac{25}{36} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$k^{2}+\frac{25}{18}k+\frac{625}{1296}=-\frac{4}{9}+\frac{625}{1296}$$

Соберете ги -\frac{4}{9} и \frac{625}{1296} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$k^{2}+\frac{25}{18}k+\frac{625}{1296}=\frac{49}{1296}$$

Фактор k^{2}+\frac{25}{18}k+\frac{625}{1296}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{36}\right)^{2}=\frac{49}{1296}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{36}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{1296}}$$

Поедноставување.

$$k+\frac{25}{36}=\frac{7}{36} k+\frac{25}{36}=-\frac{7}{36}$$

Одземање на \frac{25}{36} од двете страни на равенката.

$$k=-\frac{1}{2} k=-\frac{8}{9}$$