Решете 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Реши за x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 18x^{2}+ax+bx-5. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Решението е парот што дава збир -9.

$$a=-15 b=6$$

Препиши го 18x^{2}-9x-5 како \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Факторирај го 3x во 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Факторирај го заедничкиот термин 6x-5 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 6x-5=0 и 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 18 за a, -9 за b и -5 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Квадрат од -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Множење на -4 со 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Множење на -72 со -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Собирање на 81 и 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Вадење квадратен корен од 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Спротивно на -9 е 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Множење на 2 со 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{9±21}{36} кога ± ќе биде плус. Собирање на 9 и 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Намалете ја дропката \frac{30}{36} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{9±21}{36} кога ± ќе биде минус. Одземање на 21 од 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Намалете ја дропката \frac{-12}{36} до најниските услови со извлекување и откажување на 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Додавање на 5 на двете страни на равенката.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Ако одземете -5 од истиот број, ќе остане 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Одземање на -5 од 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Поделете ги двете страни со 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Ако поделите со 18, ќе се врати множењето со 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Намалете ја дропката \frac{-9}{18} до најниските услови со извлекување и откажување на 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Поделете го -\frac{1}{2}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{1}{4}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{1}{4} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{1}{4} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Соберете ги \frac{5}{18} и \frac{1}{16} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Фактор x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Додавање на \frac{1}{4} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$