Решете 16x^2-64x+65=0

$$16 x ^ { 2 } - 64 x + 65 = 0$$

Реши за x (complex solution)

$$x=2+\frac{1}{4}i=2+0,25i$$

$$x=2-\frac{1}{4}i=2-0,25i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 16 за a, -64 за b и 65 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Квадрат од -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Множење на -4 со 16.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-64\times 65}}{2\times 16}$$

Множење на -64 со 65.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4160}}{2\times 16}$$

Собирање на 4096 и -4160.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

Вадење квадратен корен од -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±8i}{2\times 16}$$

Спротивно на -64 е 64.

$$x=\frac{64±8i}{2\times 16}$$

Множење на 2 со 16.

$$x=\frac{64±8i}{32}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{64±8i}{32} кога ± ќе биде плус. Собирање на 64 и 8i.

$$x=\frac{64+8i}{32}$$

Делење на 64+8i со 32.

$$x=2+\frac{1}{4}i$$

Сега решете ја равенката x=\frac{64±8i}{32} кога ± ќе биде минус. Одземање на 8i од 64.

$$x=\frac{64-8i}{32}$$

Делење на 64-8i со 32.

$$x=2-\frac{1}{4}i$$

Равенката сега е решена.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Одземање на 65 од двете страни на равенката.

$$16x^{2}-64x+65-65=-65$$

Ако одземете 65 од истиот број, ќе остане 0.

$$16x^{2}-64x=-65$$

Поделете ги двете страни со 16.

$$\frac{16x^{2}-64x}{16}=-\frac{65}{16}$$

Ако поделите со 16, ќе се врати множењето со 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{16}\right)x=-\frac{65}{16}$$

Делење на -64 со 16.

$$x^{2}-4x=-\frac{65}{16}$$

Поделете го -4, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -2. Потоа додајте го квадратот од -2 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{65}{16}+\left(-2\right)^{2}$$

Квадрат од -2.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{65}{16}+4$$

Собирање на -\frac{65}{16} и 4.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{1}{16}$$

Фактор x^{2}-4x+4. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

Поедноставување.

$$x-2=\frac{1}{4}i x-2=-\frac{1}{4}i$$

Додавање на 2 на двете страни на равенката.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$