Решете 16x^2-24x=1

$$16 x ^ { 2 } - 24 x = 1$$

Реши за x

$$x = \frac{\sqrt{10} + 3}{4} \approx 1,540569415$$

$$x=\frac{3-\sqrt{10}}{4}\approx -0,040569415$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$16x^{2}-24x=1$$

Одземање на 1 од двете страни на равенката.

$$16x^{2}-24x-1=1-1$$

Ако одземете 1 од истиот број, ќе остане 0.

$$16x^{2}-24x-1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 16 за a, -24 за b и -1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 16\left(-1\right)}}{2\times 16}$$

Квадрат од -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 16\left(-1\right)}}{2\times 16}$$

Множење на -4 со 16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-64\left(-1\right)}}{2\times 16}$$

Множење на -64 со -1.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+64}}{2\times 16}$$

Собирање на 576 и 64.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{640}}{2\times 16}$$

Вадење квадратен корен од 640.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±8\sqrt{10}}{2\times 16}$$

Спротивно на -24 е 24.

$$x=\frac{24±8\sqrt{10}}{2\times 16}$$

Множење на 2 со 16.

$$x=\frac{24±8\sqrt{10}}{32}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{24±8\sqrt{10}}{32} кога ± ќе биде плус. Собирање на 24 и 8\sqrt{10}.

$$x=\frac{8\sqrt{10}+24}{32}$$

Делење на 24+8\sqrt{10} со 32.

$$x=\frac{\sqrt{10}+3}{4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{24±8\sqrt{10}}{32} кога ± ќе биде минус. Одземање на 8\sqrt{10} од 24.

$$x=\frac{24-8\sqrt{10}}{32}$$

Делење на 24-8\sqrt{10} со 32.

$$x=\frac{3-\sqrt{10}}{4}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{\sqrt{10}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{10}}{4}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-24x=1$$

Поделете ги двете страни со 16.

$$\frac{16x^{2}-24x}{16}=\frac{1}{16}$$

Ако поделите со 16, ќе се врати множењето со 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{16}\right)x=\frac{1}{16}$$

Намалете ја дропката \frac{-24}{16} до најниските услови со извлекување и откажување на 8.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{1}{16}$$

Поделете го -\frac{3}{2}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{3}{4}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{3}{4} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{3}{4} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{1+9}{16}$$

Соберете ги \frac{1}{16} и \frac{9}{16} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{8}$$

Фактор x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{8}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{8}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{10}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{10}}{4}$$

Додавање на \frac{3}{4} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{\sqrt{10}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{10}}{4}$$