Решете 16x^2-24x+9=0

$$16 x ^ { 2 } - 24 x + 9 = 0$$

Реши за x

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 16x^{2}+ax+bx+9. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-24 ab=16\times 9=144$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е негативно, и a и b се негативни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Решението е парот што дава збир -24.

$$a=-12 b=-12$$

Препиши го 16x^{2}-24x+9 како \left(16x^{2}-12x\right)+\left(-12x+9\right).

$$\left(16x^{2}-12x\right)+\left(-12x+9\right)$$

Исклучете го факторот 4x во првата група и -3 во втората група.

$$4x\left(4x-3\right)-3\left(4x-3\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 4x-3 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(4x-3\right)\left(4x-3\right)$$

Препишување како биномен квадрат.

$$\left(4x-3\right)^{2}$$

За да најдете решение за равенката, решете ја 4x-3=0.

$$x=\frac{3}{4}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$16x^{2}-24x+9=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 16 за a, -24 за b и 9 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Квадрат од -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Множење на -4 со 16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-64\times 9}}{2\times 16}$$

Множење на -64 со 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-576}}{2\times 16}$$

Собирање на 576 и -576.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{0}}{2\times 16}$$

Вадење квадратен корен од 0.

$$x=-\frac{-24}{2\times 16}$$

Спротивно на -24 е 24.

$$x=\frac{24}{2\times 16}$$

Множење на 2 со 16.

$$x=\frac{24}{32}$$

Намалете ја дропката \frac{24}{32} до најниските услови со извлекување и откажување на 8.

$$x=\frac{3}{4}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-24x+9=0$$

Одземање на 9 од двете страни на равенката.

$$16x^{2}-24x+9-9=-9$$

Ако одземете 9 од истиот број, ќе остане 0.

$$16x^{2}-24x=-9$$

Поделете ги двете страни со 16.

$$\frac{16x^{2}-24x}{16}=-\frac{9}{16}$$

Ако поделите со 16, ќе се врати множењето со 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{16}\right)x=-\frac{9}{16}$$

Намалете ја дропката \frac{-24}{16} до најниските услови со извлекување и откажување на 8.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{9}{16}$$

Поделете го -\frac{3}{2}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{3}{4}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{3}{4} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{16}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{3}{4} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{-9+9}{16}$$

Соберете ги -\frac{9}{16} и \frac{9}{16} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=0$$

Фактор x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=0$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{3}{4}=0 x-\frac{3}{4}=0$$

Додавање на \frac{3}{4} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{3}{4} x=\frac{3}{4}$$

Равенката сега е решена. Решенијата се исти.

$$x=\frac{3}{4}$$