Решете 16x^2+8x-3=0

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

Реши за x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 16x^{2}+ax+bx-3. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Решението е парот што дава збир 8.

$$a=-4 b=12$$

Препиши го 16x^{2}+8x-3 како \left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right).

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

Исклучете го факторот 4x во првата група и 3 во втората група.

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 4x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 4x-1=0 и 4x+3=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 16 за a, 8 за b и -3 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Квадрат од 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Множење на -4 со 16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Множење на -64 со -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

Собирање на 64 и 192.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Вадење квадратен корен од 256.

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

Множење на 2 со 16.

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-8±16}{32} кога ± ќе биде плус. Собирање на -8 и 16.

$$x=\frac{8}{32}$$

Намалете ја дропката \frac{8}{32} до најниските услови со извлекување и откажување на 8.

$$x=\frac{1}{4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-8±16}{32} кога ± ќе биде минус. Одземање на 16 од -8.

$$x=-\frac{24}{32}$$

Намалете ја дропката \frac{-24}{32} до најниските услови со извлекување и откажување на 8.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Додавање на 3 на двете страни на равенката.

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Ако одземете -3 од истиот број, ќе остане 0.

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

Одземање на -3 од 0.

$$16x^{2}+8x=3$$

Поделете ги двете страни со 16.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

Ако поделите со 16, ќе се врати множењето со 16.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

Намалете ја дропката \frac{8}{16} до најниските услови со извлекување и откажување на 8.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

Поделете го \frac{1}{2}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{1}{4}. Потоа додајте го квадратот од \frac{1}{4} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Кренете \frac{1}{4} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

Соберете ги \frac{3}{16} и \frac{1}{16} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

Фактор x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

Одземање на \frac{1}{4} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$