Решете 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Реши за x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 16x^{2}+ax+bx-9. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Решението е парот што дава збир 10.

$$a=-8 b=18$$

Препиши го 16x^{2}+10x-9 како \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Исклучете го факторот 8x во првата група и 9 во втората група.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 2x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 2x-1=0 и 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 16 за a, 10 за b и -9 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Квадрат од 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Множење на -4 со 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Множење на -64 со -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Собирање на 100 и 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Вадење квадратен корен од 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Множење на 2 со 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-10±26}{32} кога ± ќе биде плус. Собирање на -10 и 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Намалете ја дропката \frac{16}{32} до најниските услови со извлекување и откажување на 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-10±26}{32} кога ± ќе биде минус. Одземање на 26 од -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Намалете ја дропката \frac{-36}{32} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Додавање на 9 на двете страни на равенката.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Ако одземете -9 од истиот број, ќе остане 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Одземање на -9 од 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Поделете ги двете страни со 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

Ако поделите со 16, ќе се врати множењето со 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Намалете ја дропката \frac{10}{16} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Поделете го \frac{5}{8}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{5}{16}. Потоа додајте го квадратот од \frac{5}{16} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Кренете \frac{5}{16} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Соберете ги \frac{9}{16} и \frac{25}{256} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Фактор x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Одземање на \frac{5}{16} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$