Решете 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Реши за x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 15x^{2}+ax+bx+2. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е позитивно, и a и b се позитивни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Решението е парот што дава збир 11.

$$a=5 b=6$$

Препиши го 15x^{2}+11x+2 како \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Исклучете го факторот 5x во првата група и 2 во втората група.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 3x+1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3x+1=0 и 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 15 за a, 11 за b и 2 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Квадрат од 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Множење на -4 со 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Множење на -60 со 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Собирање на 121 и -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Вадење квадратен корен од 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Множење на 2 со 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-11±1}{30} кога ± ќе биде плус. Собирање на -11 и 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Намалете ја дропката \frac{-10}{30} до најниските услови со извлекување и откажување на 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-11±1}{30} кога ± ќе биде минус. Одземање на 1 од -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Намалете ја дропката \frac{-12}{30} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Равенката сега е решена.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Одземање на 2 од двете страни на равенката.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Ако одземете 2 од истиот број, ќе остане 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Поделете ги двете страни со 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Ако поделите со 15, ќе се врати множењето со 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Поделете го \frac{11}{15}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{11}{30}. Потоа додајте го квадратот од \frac{11}{30} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Кренете \frac{11}{30} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Соберете ги -\frac{2}{15} и \frac{121}{900} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Фактор x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Одземање на \frac{11}{30} од двете страни на равенката.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$