Решете 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Реши за x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 15x^{2}+ax+bx-4. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Решението е парот што дава збир 4.

$$a=-6 b=10$$

Препиши го 15x^{2}+4x-4 како \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Исклучете го факторот 3x во првата група и 2 во втората група.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 5x-2 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 5x-2=0 и 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 15 за a, 4 за b и -4 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Квадрат од 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Множење на -4 со 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Множење на -60 со -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Собирање на 16 и 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Вадење квадратен корен од 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Множење на 2 со 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-4±16}{30} кога ± ќе биде плус. Собирање на -4 и 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Намалете ја дропката \frac{12}{30} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-4±16}{30} кога ± ќе биде минус. Одземање на 16 од -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Намалете ја дропката \frac{-20}{30} до најниските услови со извлекување и откажување на 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Додавање на 4 на двете страни на равенката.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Ако одземете -4 од истиот број, ќе остане 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Одземање на -4 од 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Поделете ги двете страни со 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Ако поделите со 15, ќе се врати множењето со 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Поделете го \frac{4}{15}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{2}{15}. Потоа додајте го квадратот од \frac{2}{15} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Кренете \frac{2}{15} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Соберете ги \frac{4}{15} и \frac{4}{225} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Фактор x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Одземање на \frac{2}{15} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$