Решете 14x^2-29x-15=0

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

Реши за x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 14x^{2}+ax+bx-15. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Решението е парот што дава збир -29.

$$a=-35 b=6$$

Препиши го 14x^{2}-29x-15 како \left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

Исклучете го факторот 7x во првата група и 3 во втората група.

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 2x-5 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 2x-5=0 и 7x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 14 за a, -29 за b и -15 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Квадрат од -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Множење на -4 со 14.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Множење на -56 со -15.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

Собирање на 841 и 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

Вадење квадратен корен од 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

Спротивно на -29 е 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

Множење на 2 со 14.

$$x=\frac{29±41}{28}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{29±41}{28} кога ± ќе биде плус. Собирање на 29 и 41.

$$x=\frac{70}{28}$$

Намалете ја дропката \frac{70}{28} до најниските услови со извлекување и откажување на 14.

$$x=\frac{5}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{29±41}{28} кога ± ќе биде минус. Одземање на 41 од 29.

$$x=-\frac{12}{28}$$

Намалете ја дропката \frac{-12}{28} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Додавање на 15 на двете страни на равенката.

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ако одземете -15 од истиот број, ќе остане 0.

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

Одземање на -15 од 0.

$$14x^{2}-29x=15$$

Поделете ги двете страни со 14.

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

Ако поделите со 14, ќе се врати множењето со 14.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

Поделете го -\frac{29}{14}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{29}{28}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{29}{28} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{29}{28} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

Соберете ги \frac{15}{14} и \frac{841}{784} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

Фактор x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

Додавање на \frac{29}{28} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$