Решете 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

Реши за n

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1,846153846$$

$$n=5$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 13n^{2}+an+bn-120. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -1560.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

Решението е парот што дава збир -41.

$$a=-65 b=24$$

Препиши го 13n^{2}-41n-120 како \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right).

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

Исклучете го факторот 13n во првата група и 24 во втората група.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин n-5 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги n-5=0 и 13n+24=0.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 13 за a, -41 за b и -120 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Квадрат од -41.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Множење на -4 со 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Множење на -52 со -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

Собирање на 1681 и 6240.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

Вадење квадратен корен од 7921.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

Спротивно на -41 е 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

Множење на 2 со 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

Сега решете ја равенката n=\frac{41±89}{26} кога ± ќе биде плус. Собирање на 41 и 89.

$$n=\frac{130}{26}$$

Делење на 130 со 26.

$$n=5$$

Сега решете ја равенката n=\frac{41±89}{26} кога ± ќе биде минус. Одземање на 89 од 41.

$$n=-\frac{48}{26}$$

Намалете ја дропката \frac{-48}{26} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$n=-\frac{24}{13}$$

Равенката сега е решена.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Додавање на 120 на двете страни на равенката.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Ако одземете -120 од истиот број, ќе остане 0.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

Одземање на -120 од 0.

$$13n^{2}-41n=120$$

Поделете ги двете страни со 13.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

Ако поделите со 13, ќе се врати множењето со 13.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

Поделете го -\frac{41}{13}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{41}{26}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{41}{26} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{41}{26} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Соберете ги \frac{120}{13} и \frac{1681}{676} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

Фактор n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Поедноставување.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Додавање на \frac{41}{26} на двете страни на равенката.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$