Решете 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Реши за x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Поделете ги двете страни со 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 3x^{2}+ax+bx-2300. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

Решението е парот што дава збир 200.

$$a=-30 b=230$$

Препиши го 3x^{2}+200x-2300 како \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

Исклучете го факторот 3x во првата група и 230 во втората група.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-10 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-10=0 и 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 120 за a, 8000 за b и -92000 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Квадрат од 8000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Множење на -4 со 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Множење на -480 со -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Собирање на 64000000 и 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Вадење квадратен корен од 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Множење на 2 со 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-8000±10400}{240} кога ± ќе биде плус. Собирање на -8000 и 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Делење на 2400 со 240.

$$x=10$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-8000±10400}{240} кога ± ќе биде минус. Одземање на 10400 од -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Намалете ја дропката \frac{-18400}{240} до најниските услови со извлекување и откажување на 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Додавање на 92000 на двете страни на равенката.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Ако одземете -92000 од истиот број, ќе остане 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Одземање на -92000 од 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Поделете ги двете страни со 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

Ако поделите со 120, ќе се врати множењето со 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Намалете ја дропката \frac{8000}{120} до најниските услови со извлекување и откажување на 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Намалете ја дропката \frac{92000}{120} до најниските услови со извлекување и откажување на 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Поделете го \frac{200}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{100}{3}. Потоа додајте го квадратот од \frac{100}{3} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Кренете \frac{100}{3} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Соберете ги \frac{2300}{3} и \frac{10000}{9} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Фактор x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Одземање на \frac{100}{3} од двете страни на равенката.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$