Решете 12x^2-5x-3=0

$$12 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Реши за x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 12x^{2}+ax+bx-3. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-5 ab=12\left(-3\right)=-36$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Решението е парот што дава збир -5.

$$a=-9 b=4$$

Препиши го 12x^{2}-5x-3 како \left(12x^{2}-9x\right)+\left(4x-3\right).

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(4x-3\right)$$

Факторирај го 3x во 12x^{2}-9x.

$$3x\left(4x-3\right)+4x-3$$

Факторирај го заедничкиот термин 4x-3 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 4x-3=0 и 3x+1=0.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$12x^{2}-5x-3=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 12 за a, -5 за b и -3 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Квадрат од -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Множење на -4 со 12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Множење на -48 со -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 12}$$

Собирање на 25 и 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 12}$$

Вадење квадратен корен од 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 12}$$

Спротивно на -5 е 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 12}$$

Множење на 2 со 12.

$$x=\frac{5±13}{24}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{5±13}{24} кога ± ќе биде плус. Собирање на 5 и 13.

$$x=\frac{18}{24}$$

Намалете ја дропката \frac{18}{24} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x=\frac{3}{4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{5±13}{24} кога ± ќе биде минус. Одземање на 13 од 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Намалете ја дропката \frac{-8}{24} до најниските услови со извлекување и откажување на 8.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-5x-3=0$$

Додавање на 3 на двете страни на равенката.

$$12x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Ако одземете -3 од истиот број, ќе остане 0.

$$12x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Одземање на -3 од 0.

$$12x^{2}-5x=3$$

Поделете ги двете страни со 12.

$$\frac{12x^{2}-5x}{12}=\frac{3}{12}$$

Ако поделите со 12, ќе се врати множењето со 12.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{3}{12}$$

Намалете ја дропката \frac{3}{12} до најниските услови со извлекување и откажување на 3.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{1}{4}$$

Поделете го -\frac{5}{12}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{5}{24}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{5}{24} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{5}{24} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{1}{4}+\frac{25}{576}$$

Соберете ги \frac{1}{4} и \frac{25}{576} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{169}{576}$$

Фактор x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{169}{576}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{576}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{13}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{13}{24}$$

Додавање на \frac{5}{24} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$