Решете 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

Реши за r

$$r=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 12r^{2}+ar+br-15. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Решението е парот што дава збир -11.

$$a=-20 b=9$$

Препиши го 12r^{2}-11r-15 како \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right).

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

Исклучете го факторот 4r во првата група и 3 во втората група.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 3r-5 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3r-5=0 и 4r+3=0.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 12 за a, -11 за b и -15 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Квадрат од -11.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Множење на -4 со 12.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Множење на -48 со -15.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Собирање на 121 и 720.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Вадење квадратен корен од 841.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

Спротивно на -11 е 11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

Множење на 2 со 12.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

Сега решете ја равенката r=\frac{11±29}{24} кога ± ќе биде плус. Собирање на 11 и 29.

$$r=\frac{40}{24}$$

Намалете ја дропката \frac{40}{24} до најниските услови со извлекување и откажување на 8.

$$r=\frac{5}{3}$$

Сега решете ја равенката r=\frac{11±29}{24} кога ± ќе биде минус. Одземање на 29 од 11.

$$r=-\frac{18}{24}$$

Намалете ја дропката \frac{-18}{24} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$r=-\frac{3}{4}$$

Равенката сега е решена.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Додавање на 15 на двете страни на равенката.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ако одземете -15 од истиот број, ќе остане 0.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

Одземање на -15 од 0.

$$12r^{2}-11r=15$$

Поделете ги двете страни со 12.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

Ако поделите со 12, ќе се врати множењето со 12.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

Намалете ја дропката \frac{15}{12} до најниските услови со извлекување и откажување на 3.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

Поделете го -\frac{11}{12}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{11}{24}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{11}{24} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{11}{24} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Соберете ги \frac{5}{4} и \frac{121}{576} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

Фактор r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Поедноставување.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Додавање на \frac{11}{24} на двете страни на равенката.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$