Решете 12x^2-102x+160=0

$$12 { x }^{ 2 } -102x+160=0$$

Реши за x

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 6,424664725$$

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 2,075335275$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 12 за a, -102 за b и 160 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Квадрат од -102.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Множење на -4 со 12.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-48\times 160}}{2\times 12}$$

Множење на -48 со 160.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-7680}}{2\times 12}$$

Собирање на 10404 и -7680.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{2724}}{2\times 12}$$

Вадење квадратен корен од 2724.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

Спротивно на -102 е 102.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

Множење на 2 со 12.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24} кога ± ќе биде плус. Собирање на 102 и 2\sqrt{681}.

$$x=\frac{2\sqrt{681}+102}{24}$$

Делење на 102+2\sqrt{681} со 24.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24} кога ± ќе биде минус. Одземање на 2\sqrt{681} од 102.

$$x=\frac{102-2\sqrt{681}}{24}$$

Делење на 102-2\sqrt{681} со 24.

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Одземање на 160 од двете страни на равенката.

$$12x^{2}-102x+160-160=-160$$

Ако одземете 160 од истиот број, ќе остане 0.

$$12x^{2}-102x=-160$$

Поделете ги двете страни со 12.

$$\frac{12x^{2}-102x}{12}=-\frac{160}{12}$$

Ако поделите со 12, ќе се врати множењето со 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{102}{12}\right)x=-\frac{160}{12}$$

Намалете ја дропката \frac{-102}{12} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{160}{12}$$

Намалете ја дропката \frac{-160}{12} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{40}{3}$$

Поделете го -\frac{17}{2}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{17}{4}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{17}{4} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{40}{3}+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{17}{4} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{40}{3}+\frac{289}{16}$$

Соберете ги -\frac{40}{3} и \frac{289}{16} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{227}{48}$$

Фактор x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{227}{48}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{227}{48}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{17}{4}=\frac{\sqrt{681}}{12} x-\frac{17}{4}=-\frac{\sqrt{681}}{12}$$

Додавање на \frac{17}{4} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$