Решете 12x^2+13x+3=0

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

Реши за x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 12x^{2}+ax+bx+3. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е позитивно, и a и b се позитивни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Решението е парот што дава збир 13.

$$a=4 b=9$$

Препиши го 12x^{2}+13x+3 како \left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

Исклучете го факторот 4x во првата група и 3 во втората група.

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 3x+1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3x+1=0 и 4x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 12 за a, 13 за b и 3 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Квадрат од 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Множење на -4 со 12.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

Множење на -48 со 3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

Собирање на 169 и -144.

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

Вадење квадратен корен од 25.

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

Множење на 2 со 12.

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-13±5}{24} кога ± ќе биде плус. Собирање на -13 и 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Намалете ја дропката \frac{-8}{24} до најниските услови со извлекување и откажување на 8.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-13±5}{24} кога ± ќе биде минус. Одземање на 5 од -13.

$$x=-\frac{18}{24}$$

Намалете ја дропката \frac{-18}{24} до најниските услови со извлекување и откажување на 6.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Равенката сега е решена.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Одземање на 3 од двете страни на равенката.

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

Ако одземете 3 од истиот број, ќе остане 0.

$$12x^{2}+13x=-3$$

Поделете ги двете страни со 12.

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

Ако поделите со 12, ќе се врати множењето со 12.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

Намалете ја дропката \frac{-3}{12} до најниските услови со извлекување и откажување на 3.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

Поделете го \frac{13}{12}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{13}{24}. Потоа додајте го квадратот од \frac{13}{24} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

Кренете \frac{13}{24} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

Соберете ги -\frac{1}{4} и \frac{169}{576} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

Фактор x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

Одземање на \frac{13}{24} од двете страни на равенката.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$