Решете 11x^2-10x+13=0

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

Реши за x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0,454545455+0,987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0,454545455-0,987525499i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 11 за a, -10 за b и 13 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Квадрат од -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Множење на -4 со 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

Множење на -44 со 13.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

Собирање на 100 и -572.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

Вадење квадратен корен од -472.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Спротивно на -10 е 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Множење на 2 со 11.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} кога ± ќе биде плус. Собирање на 10 и 2i\sqrt{118}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

Делење на 10+2i\sqrt{118} со 22.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} кога ± ќе биде минус. Одземање на 2i\sqrt{118} од 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

Делење на 10-2i\sqrt{118} со 22.

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Одземање на 13 од двете страни на равенката.

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

Ако одземете 13 од истиот број, ќе остане 0.

$$11x^{2}-10x=-13$$

Поделете ги двете страни со 11.

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

Ако поделите со 11, ќе се врати множењето со 11.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

Поделете го -\frac{10}{11}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{5}{11}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{5}{11} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{5}{11} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

Соберете ги -\frac{13}{11} и \frac{25}{121} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

Фактор x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

Додавање на \frac{5}{11} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$