Решете 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

Реши за x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 10x^{2}+ax+bx-12. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Решението е парот што дава збир 7.

$$a=-8 b=15$$

Препиши го 10x^{2}+7x-12 како \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

Исклучете го факторот 2x во првата група и 3 во втората група.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 5x-4 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 5x-4=0 и 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 10 за a, 7 за b и -12 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Квадрат од 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Множење на -4 со 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Множење на -40 со -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Собирање на 49 и 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Вадење квадратен корен од 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

Множење на 2 со 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-7±23}{20} кога ± ќе биде плус. Собирање на -7 и 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

Намалете ја дропката \frac{16}{20} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-7±23}{20} кога ± ќе биде минус. Одземање на 23 од -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Намалете ја дропката \frac{-30}{20} до најниските услови со извлекување и откажување на 10.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Додавање на 12 на двете страни на равенката.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Ако одземете -12 од истиот број, ќе остане 0.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

Одземање на -12 од 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

Поделете ги двете страни со 10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

Ако поделите со 10, ќе се врати множењето со 10.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

Намалете ја дропката \frac{12}{10} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

Поделете го \frac{7}{10}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{7}{20}. Потоа додајте го квадратот од \frac{7}{20} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Кренете \frac{7}{20} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

Соберете ги \frac{6}{5} и \frac{49}{400} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

Фактор x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

Одземање на \frac{7}{20} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$