Решете 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Реши за k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 10k^{2}+ak+bk-1. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -10.

$$-1,10 -2,5$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Решението е парот што дава збир 9.

$$a=-1 b=10$$

Препиши го 10k^{2}+9k-1 како \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Факторирај го k во 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Факторирај го заедничкиот термин 10k-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 10k-1=0 и k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 10 за a, 9 за b и -1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Квадрат од 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Множење на -4 со 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Множење на -40 со -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Собирање на 81 и 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Вадење квадратен корен од 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Множење на 2 со 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Сега решете ја равенката k=\frac{-9±11}{20} кога ± ќе биде плус. Собирање на -9 и 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Намалете ја дропката \frac{2}{20} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Сега решете ја равенката k=\frac{-9±11}{20} кога ± ќе биде минус. Одземање на 11 од -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Делење на -20 со 20.

$$k=-1$$

Равенката сега е решена.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Додавање на 1 на двете страни на равенката.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ако одземете -1 од истиот број, ќе остане 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Одземање на -1 од 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Поделете ги двете страни со 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Ако поделите со 10, ќе се врати множењето со 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Поделете го \frac{9}{10}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{9}{20}. Потоа додајте го квадратот од \frac{9}{20} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Кренете \frac{9}{20} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Соберете ги \frac{1}{10} и \frac{81}{400} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Фактор k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Поедноставување.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Одземање на \frac{9}{20} од двете страни на равенката.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$