Решете 1+x+x^2=43

$$1+x+ { x }^{ 2 } =43$$

Реши за x

$$x=-7$$

$$x=6$$

Чекори за употреба на факторирање

Одземете 43 од двете страни.

$$1+x+x^{2}-43=0$$

Одземете 43 од 1 за да добиете -42.

$$-42+x+x^{2}=0$$

Прераспоредете го полиномот за да го ставите во стандардна форма. Распоредете ги членовите почнувајќи од највисокиот да најнискиот степен.

$$x^{2}+x-42=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте x^{2}+x-42 со помош на формулата x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=1 ab=-42$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Решението е парот што дава збир 1.

$$a=-6 b=7$$

Препишете го факторираниот израз \left(x+a\right)\left(x+b\right) со помош на добиените вредности.

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-6=0 и x+7=0.

$$x=6 x=-7$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Одземете 43 од двете страни.

$$1+x+x^{2}-43=0$$

Одземете 43 од 1 за да добиете -42.

$$-42+x+x^{2}=0$$

Прераспоредете го полиномот за да го ставите во стандардна форма. Распоредете ги членовите почнувајќи од највисокиот да најнискиот степен.

$$x^{2}+x-42=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како x^{2}+ax+bx-42. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Решението е парот што дава збир 1.

$$a=-6 b=7$$

Препиши го x^{2}+x-42 како \left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right)$$

Исклучете го факторот x во првата група и 7 во втората група.

$$x\left(x-6\right)+7\left(x-6\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-6 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-6=0 и x+7=0.

$$x=6 x=-7$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$x^{2}+x+1=43$$

Одземање на 43 од двете страни на равенката.

$$x^{2}+x+1-43=43-43$$

Ако одземете 43 од истиот број, ќе остане 0.

$$x^{2}+x+1-43=0$$

Одземање на 43 од 1.

$$x^{2}+x-42=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 1 за a, 1 за b и -42 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-42\right)}}{2}$$

Квадрат од 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

Множење на -4 со -42.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2}$$

Собирање на 1 и 168.

$$x=\frac{-1±\sqrt{169}}{2}$$

Вадење квадратен корен од 169.

$$x=\frac{-1±13}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-1±13}{2} кога ± ќе биде плус. Собирање на -1 и 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Делење на 12 со 2.

$$x=6$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-1±13}{2} кога ± ќе биде минус. Одземање на 13 од -1.

$$x=-\frac{14}{2}$$

Делење на -14 со 2.

$$x=-7$$

Равенката сега е решена.

$$x=6 x=-7$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x+1=43$$

Одземање на 1 од двете страни на равенката.

$$x^{2}+x+1-1=43-1$$

Ако одземете 1 од истиот број, ќе остане 0.

$$x^{2}+x=43-1$$

Одземање на 1 од 43.

$$x^{2}+x=42$$

Поделете го 1, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{1}{2}. Потоа додајте го квадратот од \frac{1}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Кренете \frac{1}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

Собирање на 42 и \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

Фактор x^{2}+x+\frac{1}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

Одземање на \frac{1}{2} од двете страни на равенката.

$$x=6 x=-7$$