Решете -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Реши за x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -4 за a, 20 за b и -47 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Квадрат од 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Множење на -4 со -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Множење на 16 со -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Собирање на 400 и -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Вадење квадратен корен од -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Множење на 2 со -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} кога ± ќе биде плус. Собирање на -20 и 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Делење на -20+4i\sqrt{22} со -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 4i\sqrt{22} од -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Делење на -20-4i\sqrt{22} со -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Додавање на 47 на двете страни на равенката.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Ако одземете -47 од истиот број, ќе остане 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Одземање на -47 од 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Поделете ги двете страни со -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Ако поделите со -4, ќе се врати множењето со -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Делење на 20 со -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Делење на 47 со -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Поделете го -5, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{5}{2}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{5}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{5}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Соберете ги -\frac{47}{4} и \frac{25}{4} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Фактор x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Додавање на \frac{5}{2} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$