Решете -3x^2-8x+16=0

$$-3 { x }^{ 2 } -8x+16=0$$

Реши за x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$x=-4$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како -3x^{2}+ax+bx+16. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-8 ab=-3\times 16=-48$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Решението е парот што дава збир -8.

$$a=4 b=-12$$

Препиши го -3x^{2}-8x+16 како \left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-12x+16\right).

$$\left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-12x+16\right)$$

Исклучете го факторот -x во првата група и -4 во втората група.

$$-x\left(3x-4\right)-4\left(3x-4\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 3x-4 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(3x-4\right)\left(-x-4\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 3x-4=0 и -x-4=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-4$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$-3x^{2}-8x+16=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -3 за a, -8 за b и 16 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Квадрат од -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Множење на -4 со -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Множење на 12 со 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+192}}{2\left(-3\right)}$$

Собирање на 64 и 192.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{256}}{2\left(-3\right)}$$

Вадење квадратен корен од 256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±16}{2\left(-3\right)}$$

Спротивно на -8 е 8.

$$x=\frac{8±16}{2\left(-3\right)}$$

Множење на 2 со -3.

$$x=\frac{8±16}{-6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{8±16}{-6} кога ± ќе биде плус. Собирање на 8 и 16.

$$x=\frac{24}{-6}$$

Делење на 24 со -6.

$$x=-4$$

Сега решете ја равенката x=\frac{8±16}{-6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 16 од 8.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

Намалете ја дропката \frac{-8}{-6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=-4 x=\frac{4}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-8x+16=0$$

Одземање на 16 од двете страни на равенката.

$$-3x^{2}-8x+16-16=-16$$

Ако одземете 16 од истиот број, ќе остане 0.

$$-3x^{2}-8x=-16$$

Поделете ги двете страни со -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{16}{-3}$$

Ако поделите со -3, ќе се врати множењето со -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{16}{-3}$$

Делење на -8 со -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{16}{-3}$$

Делење на -16 со -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{16}{3}$$

Поделете го \frac{8}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{4}{3}. Потоа додајте го квадратот од \frac{4}{3} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Кренете \frac{4}{3} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{16}{3}+\frac{16}{9}$$

Соберете ги \frac{16}{3} и \frac{16}{9} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{64}{9}$$

Фактор x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{8}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

Одземање на \frac{4}{3} од двете страни на равенката.

$$x=\frac{4}{3} x=-4$$