Решете -2x^2+20x=48

$$-2 { x }^{ 2 } +20x=48$$

Реши за x

$$x=4$$

$$x=6$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Одземете 48 од двете страни.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$-x^{2}+10x-24=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како -x^{2}+ax+bx-24. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=10 ab=-\left(-24\right)=24$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е позитивно, и a и b се позитивни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Решението е парот што дава збир 10.

$$a=6 b=4$$

Препиши го -x^{2}+10x-24 како \left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right).

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right)$$

Исклучете го факторот -x во првата група и 4 во втората група.

$$-x\left(x-6\right)+4\left(x-6\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-6 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-6\right)\left(-x+4\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-6=0 и -x+4=0.

$$x=6 x=4$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Одземање на 48 од двете страни на равенката.

$$-2x^{2}+20x-48=48-48$$

Ако одземете 48 од истиот број, ќе остане 0.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -2 за a, 20 за b и -48 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Квадрат од 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Множење на -4 со -2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+8\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Множење на 8 со -48.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-384}}{2\left(-2\right)}$$

Собирање на 400 и -384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{16}}{2\left(-2\right)}$$

Вадење квадратен корен од 16.

$$x=\frac{-20±4}{2\left(-2\right)}$$

Множење на 2 со -2.

$$x=\frac{-20±4}{-4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-20±4}{-4} кога ± ќе биде плус. Собирање на -20 и 4.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

Делење на -16 со -4.

$$x=4$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-20±4}{-4} кога ± ќе биде минус. Одземање на 4 од -20.

$$x=-\frac{24}{-4}$$

Делење на -24 со -4.

$$x=6$$

Равенката сега е решена.

$$x=4 x=6$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Поделете ги двете страни со -2.

$$\frac{-2x^{2}+20x}{-2}=\frac{48}{-2}$$

Ако поделите со -2, ќе се врати множењето со -2.

$$x^{2}+\frac{20}{-2}x=\frac{48}{-2}$$

Делење на 20 со -2.

$$x^{2}-10x=\frac{48}{-2}$$

Делење на 48 со -2.

$$x^{2}-10x=-24$$

Поделете го -10, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -5. Потоа додајте го квадратот од -5 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-24+\left(-5\right)^{2}$$

Квадрат од -5.

$$x^{2}-10x+25=-24+25$$

Собирање на -24 и 25.

$$x^{2}-10x+25=1$$

Фактор x^{2}-10x+25. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=1$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Поедноставување.

$$x-5=1 x-5=-1$$

Додавање на 5 на двете страни на равенката.

$$x=6 x=4$$