Решете -x^2+14x=-11

$$- x ^ { 2 } + 14 x = - 11$$

Реши за x

$$x=2\sqrt{15}+7\approx 14,745966692$$

$$x=7-2\sqrt{15}\approx -0,745966692$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$-x^{2}+14x=-11$$

Додавање на 11 на двете страни на равенката.

$$-x^{2}+14x-\left(-11\right)=-11-\left(-11\right)$$

Ако одземете -11 од истиот број, ќе остане 0.

$$-x^{2}+14x-\left(-11\right)=0$$

Одземање на -11 од 0.

$$-x^{2}+14x+11=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -1 за a, 14 за b и 11 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Квадрат од 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Множење на -4 со -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Множење на 4 со 11.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+44}}{2\left(-1\right)}$$

Собирање на 196 и 44.

$$x=\frac{-14±\sqrt{240}}{2\left(-1\right)}$$

Вадење квадратен корен од 240.

$$x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{2\left(-1\right)}$$

Множење на 2 со -1.

$$x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{-2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{-2} кога ± ќе биде плус. Собирање на -14 и 4\sqrt{15}.

$$x=\frac{4\sqrt{15}-14}{-2}$$

Делење на -14+4\sqrt{15} со -2.

$$x=7-2\sqrt{15}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{-2} кога ± ќе биде минус. Одземање на 4\sqrt{15} од -14.

$$x=\frac{-4\sqrt{15}-14}{-2}$$

Делење на -14-4\sqrt{15} со -2.

$$x=2\sqrt{15}+7$$

Равенката сега е решена.

$$x=7-2\sqrt{15} x=2\sqrt{15}+7$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+14x=-11$$

Поделете ги двете страни со -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=-\frac{11}{-1}$$

Ако поделите со -1, ќе се врати множењето со -1.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=-\frac{11}{-1}$$

Делење на 14 со -1.

$$x^{2}-14x=-\frac{11}{-1}$$

Делење на -11 со -1.

$$x^{2}-14x=11$$

Поделете го -14, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -7. Потоа додајте го квадратот од -7 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=11+\left(-7\right)^{2}$$

Квадрат од -7.

$$x^{2}-14x+49=11+49$$

Собирање на 11 и 49.

$$x^{2}-14x+49=60$$

Фактор x^{2}-14x+49. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=60$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{60}$$

Поедноставување.

$$x-7=2\sqrt{15} x-7=-2\sqrt{15}$$

Додавање на 7 на двете страни на равенката.

$$x=2\sqrt{15}+7 x=7-2\sqrt{15}$$