Решете -4x^2+72x-322=0

$$- 4 x ^ { 2 } + 72 x - 322 = 0$$

Реши за x

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+9\approx 9,707106781$$

$$x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+9\approx 8,292893219$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$-4x^{2}+72x-322=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -4 за a, 72 за b и -322 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-72±\sqrt{72^{2}-4\left(-4\right)\left(-322\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Квадрат од 72.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-4\left(-4\right)\left(-322\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Множење на -4 со -4.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184+16\left(-322\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Множење на 16 со -322.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-5152}}{2\left(-4\right)}$$

Собирање на 5184 и -5152.

$$x=\frac{-72±\sqrt{32}}{2\left(-4\right)}$$

Вадење квадратен корен од 32.

$$x=\frac{-72±4\sqrt{2}}{2\left(-4\right)}$$

Множење на 2 со -4.

$$x=\frac{-72±4\sqrt{2}}{-8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-72±4\sqrt{2}}{-8} кога ± ќе биде плус. Собирање на -72 и 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-72}{-8}$$

Делење на -72+4\sqrt{2} со -8.

$$x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+9$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-72±4\sqrt{2}}{-8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 4\sqrt{2} од -72.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-72}{-8}$$

Делење на -72-4\sqrt{2} со -8.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+9$$

Равенката сега е решена.

$$x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+9 x=\frac{\sqrt{2}}{2}+9$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+72x-322=0$$

Додавање на 322 на двете страни на равенката.

$$-4x^{2}+72x-322-\left(-322\right)=-\left(-322\right)$$

Ако одземете -322 од истиот број, ќе остане 0.

$$-4x^{2}+72x=-\left(-322\right)$$

Одземање на -322 од 0.

$$-4x^{2}+72x=322$$

Поделете ги двете страни со -4.

$$\frac{-4x^{2}+72x}{-4}=\frac{322}{-4}$$

Ако поделите со -4, ќе се врати множењето со -4.

$$x^{2}+\frac{72}{-4}x=\frac{322}{-4}$$

Делење на 72 со -4.

$$x^{2}-18x=\frac{322}{-4}$$

Намалете ја дропката \frac{322}{-4} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x^{2}-18x=-\frac{161}{2}$$

Поделете го -18, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -9. Потоа додајте го квадратот од -9 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=-\frac{161}{2}+\left(-9\right)^{2}$$

Квадрат од -9.

$$x^{2}-18x+81=-\frac{161}{2}+81$$

Собирање на -\frac{161}{2} и 81.

$$x^{2}-18x+81=\frac{1}{2}$$

Фактор x^{2}-18x+81. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Поедноставување.

$$x-9=\frac{\sqrt{2}}{2} x-9=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Додавање на 9 на двете страни на равенката.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+9 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+9$$