Решете -3x^2-9x+84=0

$$- 3 x ^ { 2 } - 9 x + 84 = 0$$

Реши за x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Поделете ги двете страни со 3.

$$-x^{2}-3x+28=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како -x^{2}+ax+bx+28. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-3 ab=-28=-28$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Решението е парот што дава збир -3.

$$a=4 b=-7$$

Препиши го -x^{2}-3x+28 како \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-7x+28\right).

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-7x+28\right)$$

Исклучете го факторот x во првата група и 7 во втората група.

$$x\left(-x+4\right)+7\left(-x+4\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин -x+4 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(-x+4\right)\left(x+7\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги -x+4=0 и x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$-3x^{2}-9x+84=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -3 за a, -9 за b и 84 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

Квадрат од -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-3\right)\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

Множење на -4 со -3.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+12\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

Множење на 12 со 84.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1008}}{2\left(-3\right)}$$

Собирање на 81 и 1008.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1089}}{2\left(-3\right)}$$

Вадење квадратен корен од 1089.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±33}{2\left(-3\right)}$$

Спротивно на -9 е 9.

$$x=\frac{9±33}{2\left(-3\right)}$$

Множење на 2 со -3.

$$x=\frac{9±33}{-6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{9±33}{-6} кога ± ќе биде плус. Собирање на 9 и 33.

$$x=\frac{42}{-6}$$

Делење на 42 со -6.

$$x=-7$$

Сега решете ја равенката x=\frac{9±33}{-6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 33 од 9.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Делење на -24 со -6.

$$x=4$$

Равенката сега е решена.

$$x=-7 x=4$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-9x+84=0$$

Одземање на 84 од двете страни на равенката.

$$-3x^{2}-9x+84-84=-84$$

Ако одземете 84 од истиот број, ќе остане 0.

$$-3x^{2}-9x=-84$$

Поделете ги двете страни со -3.

$$\frac{-3x^{2}-9x}{-3}=-\frac{84}{-3}$$

Ако поделите со -3, ќе се врати множењето со -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{-3}\right)x=-\frac{84}{-3}$$

Делење на -9 со -3.

$$x^{2}+3x=-\frac{84}{-3}$$

Делење на -84 со -3.

$$x^{2}+3x=28$$

Поделете го 3, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{3}{2}. Потоа додајте го квадратот од \frac{3}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Кренете \frac{3}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Собирање на 28 и \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Фактор x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Одземање на \frac{3}{2} од двете страни на равенката.

$$x=4 x=-7$$