Решете -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Реши за x

$$x=4$$

$$x=13$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Поделете ги двете страни со 3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како -x^{2}+ax+bx-52. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е позитивно, и a и b се позитивни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

Решението е парот што дава збир 17.

$$a=13 b=4$$

Препиши го -x^{2}+17x-52 како \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

Исклучете го факторот -x во првата група и 4 во втората група.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-13 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-13=0 и -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -3 за a, 51 за b и -156 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Квадрат од 51.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Множење на -4 со -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Множење на 12 со -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Собирање на 2601 и -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Вадење квадратен корен од 729.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Множење на 2 со -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-51±27}{-6} кога ± ќе биде плус. Собирање на -51 и 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Делење на -24 со -6.

$$x=4$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-51±27}{-6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 27 од -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Делење на -78 со -6.

$$x=13$$

Равенката сега е решена.

$$x=4 x=13$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Додавање на 156 на двете страни на равенката.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

Ако одземете -156 од истиот број, ќе остане 0.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Одземање на -156 од 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Поделете ги двете страни со -3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

Ако поделите со -3, ќе се врати множењето со -3.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Делење на 51 со -3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Делење на 156 со -3.

$$x^{2}-17x=-52$$

Поделете го -17, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{17}{2}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{17}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{17}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Собирање на -52 и \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Фактор x^{2}-17x+\frac{289}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Додавање на \frac{17}{2} на двете страни на равенката.

$$x=13 x=4$$