Решете -16t^2+64t+80=128

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

Реши за t

$$t=1$$

$$t=3$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Одземете 128 од двете страни.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Одземете 128 од 80 за да добиете -48.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Поделете ги двете страни со 16.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како -t^{2}+at+bt-3. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е позитивно, и a и b се позитивни. Единствениот таков пар е решението на системот.

$$a=3 b=1$$

Препиши го -t^{2}+4t-3 како \left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right).

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

Факторирај го -t во -t^{2}+3t.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

Факторирај го заедничкиот термин t-3 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги t-3=0 и -t+1=0.

$$t=3 t=1$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Одземање на 128 од двете страни на равенката.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

Ако одземете 128 од истиот број, ќе остане 0.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Одземање на 128 од 80.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -16 за a, 64 за b и -48 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Квадрат од 64.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Множење на -4 со -16.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Множење на 64 со -48.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

Собирање на 4096 и -3072.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

Вадење квадратен корен од 1024.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

Множење на 2 со -16.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

Сега решете ја равенката t=\frac{-64±32}{-32} кога ± ќе биде плус. Собирање на -64 и 32.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Делење на -32 со -32.

$$t=1$$

Сега решете ја равенката t=\frac{-64±32}{-32} кога ± ќе биде минус. Одземање на 32 од -64.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

Делење на -96 со -32.

$$t=3$$

Равенката сега е решена.

$$t=1 t=3$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Одземање на 80 од двете страни на равенката.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

Ако одземете 80 од истиот број, ќе остане 0.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

Одземање на 80 од 128.

$$-16t^{2}+64t=48$$

Поделете ги двете страни со -16.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

Ако поделите со -16, ќе се врати множењето со -16.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

Делење на 64 со -16.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

Делење на 48 со -16.

$$t^{2}-4t=-3$$

Поделете го -4, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -2. Потоа додајте го квадратот од -2 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Квадрат од -2.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

Собирање на -3 и 4.

$$t^{2}-4t+4=1$$

Фактор t^{2}-4t+4. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Поедноставување.

$$t-2=1 t-2=-1$$

Додавање на 2 на двете страни на равенката.

$$t=3 t=1$$