Решете -x^2+10x-21=0

$$- { x }^{ 2 } +10x-21 = 0$$

Реши за x

$$x=3$$

$$x=7$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како -x^{2}+ax+bx-21. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=10 ab=-\left(-21\right)=21$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е позитивно, и a и b се позитивни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 21.

$$1,21 3,7$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1+21=22 3+7=10$$

Решението е парот што дава збир 10.

$$a=7 b=3$$

Препиши го -x^{2}+10x-21 како \left(-x^{2}+7x\right)+\left(3x-21\right).

$$\left(-x^{2}+7x\right)+\left(3x-21\right)$$

Исклучете го факторот -x во првата група и 3 во втората група.

$$-x\left(x-7\right)+3\left(x-7\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-7 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-7\right)\left(-x+3\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-7=0 и -x+3=0.

$$x=7 x=3$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$-x^{2}+10x-21=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -1 за a, 10 за b и -21 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\left(-21\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Квадрат од 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\left(-21\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Множење на -4 со -1.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+4\left(-21\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Множење на 4 со -21.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-84}}{2\left(-1\right)}$$

Собирање на 100 и -84.

$$x=\frac{-10±\sqrt{16}}{2\left(-1\right)}$$

Вадење квадратен корен од 16.

$$x=\frac{-10±4}{2\left(-1\right)}$$

Множење на 2 со -1.

$$x=\frac{-10±4}{-2}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-10±4}{-2} кога ± ќе биде плус. Собирање на -10 и 4.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Делење на -6 со -2.

$$x=3$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-10±4}{-2} кога ± ќе биде минус. Одземање на 4 од -10.

$$x=-\frac{14}{-2}$$

Делење на -14 со -2.

$$x=7$$

Равенката сега е решена.

$$x=3 x=7$$

Чекори за пополнување на квадратот

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+10x-21=0$$

Додавање на 21 на двете страни на равенката.

$$-x^{2}+10x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Ако одземете -21 од истиот број, ќе остане 0.

$$-x^{2}+10x=-\left(-21\right)$$

Одземање на -21 од 0.

$$-x^{2}+10x=21$$

Поделете ги двете страни со -1.

$$\frac{-x^{2}+10x}{-1}=\frac{21}{-1}$$

Ако поделите со -1, ќе се врати множењето со -1.

$$x^{2}+\frac{10}{-1}x=\frac{21}{-1}$$

Делење на 10 со -1.

$$x^{2}-10x=\frac{21}{-1}$$

Делење на 21 со -1.

$$x^{2}-10x=-21$$

Поделете го -10, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -5. Потоа додајте го квадратот од -5 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-21+\left(-5\right)^{2}$$

Квадрат од -5.

$$x^{2}-10x+25=-21+25$$

Собирање на -21 и 25.

$$x^{2}-10x+25=4$$

Фактор x^{2}-10x+25. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=4$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Поедноставување.

$$x-5=2 x-5=-2$$

Додавање на 5 на двете страни на равенката.

$$x=7 x=3$$