Решете (1+x/2)(1000-200x)+500(1+x)=14400

$$(1+ \frac{ x }{ 2 } )(1000-200x)+500(1+x)=14400$$

Реши за x (complex solution)

$$x=4+\sqrt{113}i\approx 4+10,630145813i$$

$$x=-\sqrt{113}i+4\approx 4-10,630145813i$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Помножете ги двете страни на равенката со 2.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 2 со 1+\frac{x}{2}.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Изразете ја 2\times \frac{x}{2} како една дропка.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Скратете ги 2 и 2.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Применете го дистрибутивното својство со помножување на секој термин од 2+x со секој термин од 1000-200x.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Комбинирајте -400x и 1000x за да добиете 600x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 1000 со 1+x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

Соберете 2000 и 1000 за да добиете 3000.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

Комбинирајте 600x и 1000x за да добиете 1600x.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

Одземете 28800 од двете страни.

$$3000+1600x-200x^{2}-28800=0$$

Одземете 28800 од 3000 за да добиете -25800.

$$-25800+1600x-200x^{2}=0$$

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$-200x^{2}+1600x-25800=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -200 за a, 1600 за b и -25800 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{1600^{2}-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Квадрат од 1600.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Множење на -4 со -200.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000+800\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Множење на 800 со -25800.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-20640000}}{2\left(-200\right)}$$

Собирање на 2560000 и -20640000.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{-18080000}}{2\left(-200\right)}$$

Вадење квадратен корен од -18080000.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{2\left(-200\right)}$$

Множење на 2 со -200.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400} кога ± ќе биде плус. Собирање на -1600 и 400i\sqrt{113}.

$$x=\frac{-1600+400\sqrt{113}i}{-400}$$

Делење на -1600+400i\sqrt{113} со -400.

$$x=-\sqrt{113}i+4$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400} кога ± ќе биде минус. Одземање на 400i\sqrt{113} од -1600.

$$x=\frac{-400\sqrt{113}i-1600}{-400}$$

Делење на -1600-400i\sqrt{113} со -400.

$$x=4+\sqrt{113}i$$

Равенката сега е решена.

$$x=-\sqrt{113}i+4 x=4+\sqrt{113}i$$

Чекори за пополнување на квадратот

Помножете ги двете страни на равенката со 2.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 2 со 1+\frac{x}{2}.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Изразете ја 2\times \frac{x}{2} како една дропка.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Скратете ги 2 и 2.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Применете го дистрибутивното својство со помножување на секој термин од 2+x со секој термин од 1000-200x.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Комбинирајте -400x и 1000x за да добиете 600x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 1000 со 1+x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

Соберете 2000 и 1000 за да добиете 3000.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

Комбинирајте 600x и 1000x за да добиете 1600x.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

Одземете 3000 од двете страни.

$$1600x-200x^{2}=28800-3000$$

Одземете 3000 од 28800 за да добиете 25800.

$$1600x-200x^{2}=25800$$

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$-200x^{2}+1600x=25800$$

Поделете ги двете страни со -200.

$$\frac{-200x^{2}+1600x}{-200}=\frac{25800}{-200}$$

Ако поделите со -200, ќе се врати множењето со -200.

$$x^{2}+\frac{1600}{-200}x=\frac{25800}{-200}$$

Делење на 1600 со -200.

$$x^{2}-8x=\frac{25800}{-200}$$

Делење на 25800 со -200.

$$x^{2}-8x=-129$$

Поделете го -8, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -4. Потоа додајте го квадратот од -4 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-129+\left(-4\right)^{2}$$

Квадрат од -4.

$$x^{2}-8x+16=-129+16$$

Собирање на -129 и 16.

$$x^{2}-8x+16=-113$$

Фактор x^{2}-8x+16. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-113$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-113}$$

Поедноставување.

$$x-4=\sqrt{113}i x-4=-\sqrt{113}i$$

Додавање на 4 на двете страни на равенката.

$$x=4+\sqrt{113}i x=-\sqrt{113}i+4$$