Решете (x-1)^2=4x(x-1)

$$( x - 1 ) ^ { 2 } = 4 x ( x - 1 )$$

Реши за x

$$x=1$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 4x со x-1.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Одземете 4x^{2} од двете страни.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Комбинирајте x^{2} и -4x^{2} за да добиете -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Додај 4x на двете страни.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Комбинирајте -2x и 4x за да добиете 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како -3x^{2}+ax+bx+1. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Единствениот таков пар е решението на системот.

$$a=3 b=-1$$

Препиши го -3x^{2}+2x+1 како \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-x+1\right)$$

Факторирај го 3x во -3x^{2}+3x.

$$3x\left(-x+1\right)-x+1$$

Факторирај го заедничкиот термин -x+1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги -x+1=0 и 3x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 4x со x-1.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Одземете 4x^{2} од двете страни.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Комбинирајте x^{2} и -4x^{2} за да добиете -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Додај 4x на двете страни.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Комбинирајте -2x и 4x за да добиете 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -3 за a, 2 за b и 1 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Квадрат од 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Множење на -4 со -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12}}{2\left(-3\right)}$$

Собирање на 4 и 12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{16}}{2\left(-3\right)}$$

Вадење квадратен корен од 16.

$$x=\frac{-2±4}{2\left(-3\right)}$$

Множење на 2 со -3.

$$x=\frac{-2±4}{-6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-2±4}{-6} кога ± ќе биде плус. Собирање на -2 и 4.

$$x=\frac{2}{-6}$$

Намалете ја дропката \frac{2}{-6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-2±4}{-6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 4 од -2.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Делење на -6 со -6.

$$x=1$$

Равенката сега е решена.

$$x=-\frac{1}{3} x=1$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 4x со x-1.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Одземете 4x^{2} од двете страни.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Комбинирајте x^{2} и -4x^{2} за да добиете -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Додај 4x на двете страни.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Комбинирајте -2x и 4x за да добиете 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Одземете 1 од двете страни. Секој број одземен од нула ја дава својата негативна вредност.

$$-3x^{2}+2x=-1$$

Поделете ги двете страни со -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{1}{-3}$$

Ако поделите со -3, ќе се врати множењето со -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{1}{-3}$$

Делење на 2 со -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{-3}$$

Делење на -1 со -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Поделете го -\frac{2}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{1}{3}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{1}{3} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{1}{3} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Соберете ги \frac{1}{3} и \frac{1}{9} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Фактор x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Додавање на \frac{1}{3} на двете страни на равенката.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$