Решете (x-1)^2+(2x+2)^2=16

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Реши за x

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

$$x=1$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Комбинирајте x^{2} и 4x^{2} за да добиете 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Комбинирајте -2x и 8x за да добиете 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Соберете 1 и 4 за да добиете 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Одземете 16 од двете страни.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Одземете 16 од 5 за да добиете -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 5x^{2}+ax+bx-11. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -55.

$$-1,55 -5,11$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+55=54 -5+11=6$$

Решението е парот што дава збир 6.

$$a=-5 b=11$$

Препиши го 5x^{2}+6x-11 како \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

Исклучете го факторот 5x во првата група и 11 во втората група.

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-1 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-1=0 и 5x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Комбинирајте x^{2} и 4x^{2} за да добиете 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Комбинирајте -2x и 8x за да добиете 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Соберете 1 и 4 за да добиете 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Одземете 16 од двете страни.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Одземете 16 од 5 за да добиете -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 5 за a, 6 за b и -11 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Квадрат од 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Множење на -4 со 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Множење на -20 со -11.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

Собирање на 36 и 220.

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Вадење квадратен корен од 256.

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

Множење на 2 со 5.

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-6±16}{10} кога ± ќе биде плус. Собирање на -6 и 16.

$$x=\frac{10}{10}$$

Делење на 10 со 10.

$$x=1$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-6±16}{10} кога ± ќе биде минус. Одземање на 16 од -6.

$$x=-\frac{22}{10}$$

Намалете ја дропката \frac{-22}{10} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Равенката сега е решена.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Комбинирајте x^{2} и 4x^{2} за да добиете 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Комбинирајте -2x и 8x за да добиете 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Соберете 1 и 4 за да добиете 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Одземете 5 од двете страни.

$$5x^{2}+6x=16-5$$

Одземете 5 од 16 за да добиете 11.

$$5x^{2}+6x=11$$

Поделете ги двете страни со 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

Ако поделите со 5, ќе се врати множењето со 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

Поделете го \frac{6}{5}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете \frac{3}{5}. Потоа додајте го квадратот од \frac{3}{5} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Кренете \frac{3}{5} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

Соберете ги \frac{11}{5} и \frac{9}{25} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

Фактор x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

Поедноставување.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

Одземање на \frac{3}{5} од двете страни на равенката.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$