Решете (x+3)^2-(2x-1)^2=16

$$( x + 3 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = 16$$

Реши за x

$$x=2$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(2x-1\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

За да го најдете спротивното на 4x^{2}-4x+1, најдете го спротивното на секој термин.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Комбинирајте x^{2} и -4x^{2} за да добиете -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Комбинирајте 6x и 4x за да добиете 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Одземете 1 од 9 за да добиете 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Одземете 16 од двете страни.

$$-3x^{2}+10x+8-16=0$$

Одземете 16 од 8 за да добиете -8.

$$-3x^{2}+10x-8=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како -3x^{2}+ax+bx-8. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=10 ab=-3\left(-8\right)=24$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е позитивно, и a и b се позитивни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Решението е парот што дава збир 10.

$$a=6 b=4$$

Препиши го -3x^{2}+10x-8 како \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(4x-8\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(4x-8\right)$$

Исклучете го факторот 3x во првата група и -4 во втората група.

$$3x\left(-x+2\right)-4\left(-x+2\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин -x+2 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(-x+2\right)\left(3x-4\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги -x+2=0 и 3x-4=0.

$$x=2 x=\frac{4}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(2x-1\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

За да го најдете спротивното на 4x^{2}-4x+1, најдете го спротивното на секој термин.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Комбинирајте x^{2} и -4x^{2} за да добиете -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Комбинирајте 6x и 4x за да добиете 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Одземете 1 од 9 за да добиете 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Одземете 16 од двете страни.

$$-3x^{2}+10x+8-16=0$$

Одземете 16 од 8 за да добиете -8.

$$-3x^{2}+10x-8=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -3 за a, 10 за b и -8 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-3\right)\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Квадрат од 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-3\right)\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Множење на -4 со -3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+12\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Множење на 12 со -8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96}}{2\left(-3\right)}$$

Собирање на 100 и -96.

$$x=\frac{-10±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

Вадење квадратен корен од 4.

$$x=\frac{-10±2}{2\left(-3\right)}$$

Множење на 2 со -3.

$$x=\frac{-10±2}{-6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-10±2}{-6} кога ± ќе биде плус. Собирање на -10 и 2.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

Намалете ја дропката \frac{-8}{-6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-10±2}{-6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 2 од -10.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Делење на -12 со -6.

$$x=2$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{4}{3} x=2$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(2x-1\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

За да го најдете спротивното на 4x^{2}-4x+1, најдете го спротивното на секој термин.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Комбинирајте x^{2} и -4x^{2} за да добиете -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Комбинирајте 6x и 4x за да добиете 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Одземете 1 од 9 за да добиете 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Одземете 8 од двете страни.

$$-3x^{2}+10x=16-8$$

Одземете 8 од 16 за да добиете 8.

$$-3x^{2}+10x=8$$

Поделете ги двете страни со -3.

$$\frac{-3x^{2}+10x}{-3}=\frac{8}{-3}$$

Ако поделите со -3, ќе се врати множењето со -3.

$$x^{2}+\frac{10}{-3}x=\frac{8}{-3}$$

Делење на 10 со -3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{-3}$$

Делење на 8 со -3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{8}{3}$$

Поделете го -\frac{10}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{5}{3}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{5}{3} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{5}{3} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Соберете ги -\frac{8}{3} и \frac{25}{9} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{1}{9}$$

Фактор x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{1}{3}$$

Додавање на \frac{5}{3} на двете страни на равенката.

$$x=2 x=\frac{4}{3}$$