Решете (x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6]

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

Реши за x

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3,428571429$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Запомнете, \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Множењето може да се трансформира во разлика од квадратите со помош на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Квадрат од 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Зголемување на \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Пресметајте колку е 3 на степен од 2 и добијте 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Комбинирајте x^{2} и 9x^{2} за да добиете 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Одземете 64 од 9 за да добиете -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Соберете -55 и 1 за да добиете -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите x со x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 3 со x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Одземете 3x^{2} од двете страни.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Комбинирајте 10x^{2} и -3x^{2} за да добиете 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Одземете 9x од двете страни.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Комбинирајте 6x и -9x за да добиете -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Одземете 18 од двете страни.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Одземете 18 од -54 за да добиете -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 7x^{2}+ax+bx-72. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -504.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

Решението е парот што дава збир -3.

$$a=-24 b=21$$

Препиши го 7x^{2}-3x-72 како \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right).

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

Исклучете го факторот x во првата група и 3 во втората група.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин 7x-24 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 7x-24=0 и x+3=0.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Запомнете, \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Множењето може да се трансформира во разлика од квадратите со помош на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Квадрат од 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Зголемување на \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Пресметајте колку е 3 на степен од 2 и добијте 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Комбинирајте x^{2} и 9x^{2} за да добиете 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Одземете 64 од 9 за да добиете -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Соберете -55 и 1 за да добиете -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите x со x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 3 со x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Одземете 3x^{2} од двете страни.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Комбинирајте 10x^{2} и -3x^{2} за да добиете 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Одземете 9x од двете страни.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Комбинирајте 6x и -9x за да добиете -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Одземете 18 од двете страни.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Одземете 18 од -54 за да добиете -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 7 за a, -3 за b и -72 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Квадрат од -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Множење на -4 со 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Множење на -28 со -72.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

Собирање на 9 и 2016.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Вадење квадратен корен од 2025.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

Спротивно на -3 е 3.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

Множење на 2 со 7.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{3±45}{14} кога ± ќе биде плус. Собирање на 3 и 45.

$$x=\frac{48}{14}$$

Намалете ја дропката \frac{48}{14} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=\frac{24}{7}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{3±45}{14} кога ± ќе биде минус. Одземање на 45 од 3.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Делење на -42 со 14.

$$x=-3$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Запомнете, \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Множењето може да се трансформира во разлика од квадратите со помош на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Квадрат од 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Зголемување на \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Пресметајте колку е 3 на степен од 2 и добијте 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Комбинирајте x^{2} и 9x^{2} за да добиете 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Одземете 64 од 9 за да добиете -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Соберете -55 и 1 за да добиете -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите x со x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 3 со x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Одземете 3x^{2} од двете страни.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Комбинирајте 10x^{2} и -3x^{2} за да добиете 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Одземете 9x од двете страни.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Комбинирајте 6x и -9x за да добиете -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Додај 54 на двете страни.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

Соберете 18 и 54 за да добиете 72.

$$7x^{2}-3x=72$$

Поделете ги двете страни со 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

Ако поделите со 7, ќе се врати множењето со 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

Поделете го -\frac{3}{7}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{3}{14}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{3}{14} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{3}{14} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

Соберете ги \frac{72}{7} и \frac{9}{196} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

Фактор x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

Додавање на \frac{3}{14} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$