Решете (v+4)^2=2v^2+2v+9

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

Реши за v

$$v=-1$$

$$v=7$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Одземете 2v^{2} од двете страни.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Комбинирајте v^{2} и -2v^{2} за да добиете -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Одземете 2v од двете страни.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Комбинирајте 8v и -2v за да добиете 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Одземете 9 од двете страни.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Одземете 9 од 16 за да добиете 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како -v^{2}+av+bv+7. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Единствениот таков пар е решението на системот.

$$a=7 b=-1$$

Препиши го -v^{2}+6v+7 како \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right).

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

Исклучете го факторот -v во првата група и -1 во втората група.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин v-7 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги v-7=0 и -v-1=0.

$$v=7 v=-1$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Одземете 2v^{2} од двете страни.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Комбинирајте v^{2} и -2v^{2} за да добиете -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Одземете 2v од двете страни.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Комбинирајте 8v и -2v за да добиете 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Одземете 9 од двете страни.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Одземете 9 од 16 за да добиете 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -1 за a, 6 за b и 7 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Квадрат од 6.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Множење на -4 со -1.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Множење на 4 со 7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Собирање на 36 и 28.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Вадење квадратен корен од 64.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Множење на 2 со -1.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

Сега решете ја равенката v=\frac{-6±8}{-2} кога ± ќе биде плус. Собирање на -6 и 8.

$$v=\frac{2}{-2}$$

Делење на 2 со -2.

$$v=-1$$

Сега решете ја равенката v=\frac{-6±8}{-2} кога ± ќе биде минус. Одземање на 8 од -6.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

Делење на -14 со -2.

$$v=7$$

Равенката сега е решена.

$$v=-1 v=7$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Одземете 2v^{2} од двете страни.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Комбинирајте v^{2} и -2v^{2} за да добиете -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Одземете 2v од двете страни.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Комбинирајте 8v и -2v за да добиете 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Одземете 16 од двете страни.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

Одземете 16 од 9 за да добиете -7.

$$-v^{2}+6v=-7$$

Поделете ги двете страни со -1.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

Ако поделите со -1, ќе се врати множењето со -1.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

Делење на 6 со -1.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

Делење на -7 со -1.

$$v^{2}-6v=7$$

Поделете го -6, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -3. Потоа додајте го квадратот од -3 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Квадрат од -3.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

Собирање на 7 и 9.

$$v^{2}-6v+9=16$$

Фактор v^{2}-6v+9. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Поедноставување.

$$v-3=4 v-3=-4$$

Додавање на 3 на двете страни на равенката.

$$v=7 v=-1$$