Решете (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

Реши за x

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 2 со 81-90x+25x^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

Соберете 81 и 162 за да добиете 243.

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

Комбинирајте -90x и -180x за да добиете -270x.

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

Комбинирајте 25x^{2} и 50x^{2} за да добиете 75x^{2}.

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

Одземете 24 од 243 за да добиете 219.

$$219-270x+75x^{2}<0$$

За да ја решите нееднаквоста, факторирајте ја левата страна. Квадратниот полином може да се факторира со помош на трансформацијата ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), каде што x_{1} и x_{2} се решенијата на квадратната равенка ax^{2}+bx+c=0.

$$219-270x+75x^{2}=0$$

Сите равенки во обликот ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со помош на квадратна формула: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заменете ги 75 со a, -270 со b и 219 со c во квадратната формула.

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

Пресметајте.

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

Решете ја равенката x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150} кога ± е плус и кога ± е минус.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

Препиши ја нееднаквоста со помош на добиените решенија.

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

Со цел производот да биде негативен, x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} и x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} мора да имаат спротивни знаци. Земете го предвид случајот во кој x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} е позитивен, а x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} е негативен.

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

Ова е неточно за секој x.

$$x\in \emptyset$$

Земете го предвид случајот во кој x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} е позитивен, а x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} е негативен.

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

Решението кое ги задоволува двете нееднаквости е x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right).

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Конечното решение е унија од добиените резултати.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$