Решете (5x-4)^2=81

$$( 5 x - 4 ) ^ { 2 } = 81$$

Реши за x

$$x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2,6$$

$$x=-1$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Одземете 81 од двете страни.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

Одземете 81 од 16 за да добиете -65.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

Поделете ги двете страни со 5.

$$5x^{2}-8x-13=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 5x^{2}+ax+bx-13. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-8 ab=5\left(-13\right)=-65$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -65.

$$1,-65 5,-13$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-65=-64 5-13=-8$$

Решението е парот што дава збир -8.

$$a=-13 b=5$$

Препиши го 5x^{2}-8x-13 како \left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right).

$$\left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right)$$

Факторирај го x во 5x^{2}-13x.

$$x\left(5x-13\right)+5x-13$$

Факторирај го заедничкиот термин 5x-13 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(5x-13\right)\left(x+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги 5x-13=0 и x+1=0.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Одземете 81 од двете страни.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

Одземете 81 од 16 за да добиете -65.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 25 за a, -40 за b и -65 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Квадрат од -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Множење на -4 со 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Множење на -100 со -65.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+6500}}{2\times 25}$$

Собирање на 1600 и 6500.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{8100}}{2\times 25}$$

Вадење квадратен корен од 8100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±90}{2\times 25}$$

Спротивно на -40 е 40.

$$x=\frac{40±90}{2\times 25}$$

Множење на 2 со 25.

$$x=\frac{40±90}{50}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{40±90}{50} кога ± ќе биде плус. Собирање на 40 и 90.

$$x=\frac{130}{50}$$

Намалете ја дропката \frac{130}{50} до најниските услови со извлекување и откажување на 10.

$$x=\frac{13}{5}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{40±90}{50} кога ± ќе биде минус. Одземање на 90 од 40.

$$x=-\frac{50}{50}$$

Делење на -50 со 50.

$$x=-1$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Одземете 16 од двете страни.

$$25x^{2}-40x=81-16$$

Одземете 16 од 81 за да добиете 65.

$$25x^{2}-40x=65$$

Поделете ги двете страни со 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=\frac{65}{25}$$

Ако поделите со 25, ќе се врати множењето со 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=\frac{65}{25}$$

Намалете ја дропката \frac{-40}{25} до најниските услови со извлекување и откажување на 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{65}{25}$$

Намалете ја дропката \frac{65}{25} до најниските услови со извлекување и откажување на 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{13}{5}$$

Поделете го -\frac{8}{5}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{4}{5}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{4}{5} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{13}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{4}{5} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{13}{5}+\frac{16}{25}$$

Соберете ги \frac{13}{5} и \frac{16}{25} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{81}{25}$$

Фактор x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{9}{5}$$

Додавање на \frac{4}{5} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$