Решете (5x-2)^2-(3x+4)^2=0

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 3 x + 4 ) ^ { 2 } = 0$$

Реши за x

$$x=-\frac{1}{4}=-0,25$$

$$x=3$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(3x+4\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

За да го најдете спротивното на 9x^{2}+24x+16, најдете го спротивното на секој термин.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

Комбинирајте 25x^{2} и -9x^{2} за да добиете 16x^{2}.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

Комбинирајте -20x и -24x за да добиете -44x.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

Одземете 16 од 4 за да добиете -12.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$4x^{2}-11x-3=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 4x^{2}+ax+bx-3. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-11 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Решението е парот што дава збир -11.

$$a=-12 b=1$$

Препиши го 4x^{2}-11x-3 како \left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right)$$

Факторирај го 4x во 4x^{2}-12x.

$$4x\left(x-3\right)+x-3$$

Факторирај го заедничкиот термин x-3 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-3=0 и 4x+1=0.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(3x+4\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

За да го најдете спротивното на 9x^{2}+24x+16, најдете го спротивното на секој термин.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

Комбинирајте 25x^{2} и -9x^{2} за да добиете 16x^{2}.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

Комбинирајте -20x и -24x за да добиете -44x.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

Одземете 16 од 4 за да добиете -12.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 16 за a, -44 за b и -12 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{\left(-44\right)^{2}-4\times 16\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Квадрат од -44.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-4\times 16\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Множење на -4 со 16.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-64\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Множење на -64 со -12.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936+768}}{2\times 16}$$

Собирање на 1936 и 768.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{2704}}{2\times 16}$$

Вадење квадратен корен од 2704.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±52}{2\times 16}$$

Спротивно на -44 е 44.

$$x=\frac{44±52}{2\times 16}$$

Множење на 2 со 16.

$$x=\frac{44±52}{32}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{44±52}{32} кога ± ќе биде плус. Собирање на 44 и 52.

$$x=\frac{96}{32}$$

Делење на 96 со 32.

$$x=3$$

Сега решете ја равенката x=\frac{44±52}{32} кога ± ќе биде минус. Одземање на 52 од 44.

$$x=-\frac{8}{32}$$

Намалете ја дропката \frac{-8}{32} до најниските услови со извлекување и откажување на 8.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Равенката сега е решена.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(3x+4\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

За да го најдете спротивното на 9x^{2}+24x+16, најдете го спротивното на секој термин.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

Комбинирајте 25x^{2} и -9x^{2} за да добиете 16x^{2}.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

Комбинирајте -20x и -24x за да добиете -44x.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

Одземете 16 од 4 за да добиете -12.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Додај 12 на двете страни. Секој број собран со нула го дава истиот број.

$$16x^{2}-44x=12$$

Поделете ги двете страни со 16.

$$\frac{16x^{2}-44x}{16}=\frac{12}{16}$$

Ако поделите со 16, ќе се врати множењето со 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{44}{16}\right)x=\frac{12}{16}$$

Намалете ја дропката \frac{-44}{16} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{12}{16}$$

Намалете ја дропката \frac{12}{16} до најниските услови со извлекување и откажување на 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{3}{4}$$

Поделете го -\frac{11}{4}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{11}{8}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{11}{8} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{11}{8} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{3}{4}+\frac{121}{64}$$

Соберете ги \frac{3}{4} и \frac{121}{64} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{169}{64}$$

Фактор x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{13}{8}$$

Додавање на \frac{11}{8} на двете страни на равенката.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$