Решете (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Реши за x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Запомнете, \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Множењето може да се трансформира во разлика од квадратите со помош на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Квадрат од 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Зголемување на \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Пресметајте колку е 2 на степен од 2 и добијте 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

За да го најдете спротивното на 4x^{2}-1, најдете го спротивното на секој термин.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Комбинирајте 25x^{2} и -4x^{2} за да добиете 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Соберете 4 и 1 за да добиете 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Одземете 47 од двете страни.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Одземете 47 од 5 за да добиете -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Одземете x од двете страни.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Комбинирајте -20x и -x за да добиете -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Поделете ги двете страни со 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како x^{2}+ax+bx-2. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е негативно, негативниот број има поголема апсолутна вредност од позитивниот. Единствениот таков пар е решението на системот.

$$a=-2 b=1$$

Препиши го x^{2}-x-2 како \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Факторирај го x во x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Факторирај го заедничкиот термин x-2 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-2=0 и x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Запомнете, \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Множењето може да се трансформира во разлика од квадратите со помош на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Квадрат од 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Зголемување на \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Пресметајте колку е 2 на степен од 2 и добијте 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

За да го најдете спротивното на 4x^{2}-1, најдете го спротивното на секој термин.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Комбинирајте 25x^{2} и -4x^{2} за да добиете 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Соберете 4 и 1 за да добиете 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Одземете 47 од двете страни.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Одземете 47 од 5 за да добиете -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Одземете x од двете страни.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Комбинирајте -20x и -x за да добиете -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 21 за a, -21 за b и -42 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Квадрат од -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Множење на -4 со 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Множење на -84 со -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Собирање на 441 и 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Вадење квадратен корен од 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

Спротивно на -21 е 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Множење на 2 со 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{21±63}{42} кога ± ќе биде плус. Собирање на 21 и 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Делење на 84 со 42.

$$x=2$$

Сега решете ја равенката x=\frac{21±63}{42} кога ± ќе биде минус. Одземање на 63 од 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Делење на -42 со 42.

$$x=-1$$

Равенката сега е решена.

$$x=2 x=-1$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Запомнете, \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Множењето може да се трансформира во разлика од квадратите со помош на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Квадрат од 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Зголемување на \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Пресметајте колку е 2 на степен од 2 и добијте 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

За да го најдете спротивното на 4x^{2}-1, најдете го спротивното на секој термин.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Комбинирајте 25x^{2} и -4x^{2} за да добиете 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Соберете 4 и 1 за да добиете 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Одземете x од двете страни.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Комбинирајте -20x и -x за да добиете -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Одземете 5 од двете страни.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Одземете 5 од 47 за да добиете 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Поделете ги двете страни со 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

Ако поделите со 21, ќе се врати множењето со 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Делење на -21 со 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Делење на 42 со 21.

$$x^{2}-x=2$$

Поделете го -1, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{1}{2}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{1}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{1}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Собирање на 2 и \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Фактор x^{2}-x+\frac{1}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Додавање на \frac{1}{2} на двете страни на равенката.

$$x=2 x=-1$$