Решете (4x-1)(4x+1)=(5x-1)^2

$$( 4 x - 1 ) ( 4 x + 1 ) = ( 5 x - 1 ) ^ { 2 }$$

Реши за x

$$x=\frac{\sqrt{7}+5}{9}\approx 0,849527923$$

$$x=\frac{5-\sqrt{7}}{9}\approx 0,261583188$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Запомнете, \left(4x-1\right)\left(4x+1\right). Множењето може да се трансформира во разлика од квадратите со помош на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Квадрат од 1.

$$\left(4x\right)^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Зголемување на \left(4x\right)^{2}.

$$4^{2}x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Пресметајте колку е 4 на степен од 2 и добијте 16.

$$16x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(5x-1\right)^{2}.

$$16x^{2}-1=25x^{2}-10x+1$$

Одземете 25x^{2} од двете страни.

$$16x^{2}-1-25x^{2}=-10x+1$$

Комбинирајте 16x^{2} и -25x^{2} за да добиете -9x^{2}.

$$-9x^{2}-1=-10x+1$$

Додај 10x на двете страни.

$$-9x^{2}-1+10x=1$$

Одземете 1 од двете страни.

$$-9x^{2}-1+10x-1=0$$

Одземете 1 од -1 за да добиете -2.

$$-9x^{2}-2+10x=0$$

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$-9x^{2}+10x-2=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете -9 за a, 10 за b и -2 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-9\right)\left(-2\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Квадрат од 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-9\right)\left(-2\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Множење на -4 со -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+36\left(-2\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Множење на 36 со -2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-72}}{2\left(-9\right)}$$

Собирање на 100 и -72.

$$x=\frac{-10±\sqrt{28}}{2\left(-9\right)}$$

Вадење квадратен корен од 28.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{2\left(-9\right)}$$

Множење на 2 со -9.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{-18}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{-18} кога ± ќе биде плус. Собирање на -10 и 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-10}{-18}$$

Делење на -10+2\sqrt{7} со -18.

$$x=\frac{5-\sqrt{7}}{9}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{-18} кога ± ќе биде минус. Одземање на 2\sqrt{7} од -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-10}{-18}$$

Делење на -10-2\sqrt{7} со -18.

$$x=\frac{\sqrt{7}+5}{9}$$

Равенката сега е решена.

$$x=\frac{5-\sqrt{7}}{9} x=\frac{\sqrt{7}+5}{9}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Запомнете, \left(4x-1\right)\left(4x+1\right). Множењето може да се трансформира во разлика од квадратите со помош на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Квадрат од 1.

$$\left(4x\right)^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Зголемување на \left(4x\right)^{2}.

$$4^{2}x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Пресметајте колку е 4 на степен од 2 и добијте 16.

$$16x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(5x-1\right)^{2}.

$$16x^{2}-1=25x^{2}-10x+1$$

Одземете 25x^{2} од двете страни.

$$16x^{2}-1-25x^{2}=-10x+1$$

Комбинирајте 16x^{2} и -25x^{2} за да добиете -9x^{2}.

$$-9x^{2}-1=-10x+1$$

Додај 10x на двете страни.

$$-9x^{2}-1+10x=1$$

Додај 1 на двете страни.

$$-9x^{2}+10x=1+1$$

Соберете 1 и 1 за да добиете 2.

$$-9x^{2}+10x=2$$

Поделете ги двете страни со -9.

$$\frac{-9x^{2}+10x}{-9}=\frac{2}{-9}$$

Ако поделите со -9, ќе се врати множењето со -9.

$$x^{2}+\frac{10}{-9}x=\frac{2}{-9}$$

Делење на 10 со -9.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x=\frac{2}{-9}$$

Делење на 2 со -9.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x=-\frac{2}{9}$$

Поделете го -\frac{10}{9}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{5}{9}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{5}{9} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{5}{9} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x+\frac{25}{81}=-\frac{2}{9}+\frac{25}{81}$$

Соберете ги -\frac{2}{9} и \frac{25}{81} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x+\frac{25}{81}=\frac{7}{81}$$

Фактор x^{2}-\frac{10}{9}x+\frac{25}{81}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{9}\right)^{2}=\frac{7}{81}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{81}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{5}{9}=\frac{\sqrt{7}}{9} x-\frac{5}{9}=-\frac{\sqrt{7}}{9}$$

Додавање на \frac{5}{9} на двете страни на равенката.

$$x=\frac{\sqrt{7}+5}{9} x=\frac{5-\sqrt{7}}{9}$$