Решете (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

Реши за x

$$x=-18$$

$$x=6$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Помножете ги двете страни на равенката со 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Квадрат на \sqrt{3} е 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Помножете 16 и 3 за да добиете 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Избришете го најголемиот заеднички фактор 2 во 8 и 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

За да се подигне \frac{x\sqrt{3}}{2} на степен, подигнете ги и броителот и именителот на тој степен и потоа поделете.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

За собирање или одземање изрази, проширете ги за да им ги направите именителите исти. Множење на 48 со \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Бидејќи \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} и \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} имаат ист именител, соберете ги со собирање на нивните именители.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 4 со \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Пресметајте колку е 2 на степен од 2 и добијте 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Помножете 48 и 4 за да добиете 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Зголемување на \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Квадрат на \sqrt{3} е 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Пресметајте колку е 2 на степен од 2 и добијте 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Изразете ја 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} како една дропка.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Скратете ги 4 и 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Квадрат на \sqrt{3} е 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Помножете 16 и 3 за да добиете 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Комбинирајте x^{2}\times 3 и x^{2} за да добиете 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Одземете 624 од двете страни.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Одземете 624 од 192 за да добиете -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Прераспоредете го полиномот за да го ставите во стандардна форма. Распоредете ги членовите почнувајќи од највисокиот да најнискиот степен.

$$x^{2}+12x-108=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како x^{2}+ax+bx-108. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Бидејќи ab е негативно, a и b имаат спротивни знаци. Бидејќи a+b е позитивно, позитивниот број има поголема апсолутна вредност од негативниот. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ -108.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

Решението е парот што дава збир 12.

$$a=-6 b=18$$

Препиши го x^{2}+12x-108 како \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

Исклучете го факторот x во првата група и 18 во втората група.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-6 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-6=0 и x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Помножете ги двете страни на равенката со 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Квадрат на \sqrt{3} е 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Помножете 16 и 3 за да добиете 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Избришете го најголемиот заеднички фактор 2 во 8 и 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

За да се подигне \frac{x\sqrt{3}}{2} на степен, подигнете ги и броителот и именителот на тој степен и потоа поделете.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

За собирање или одземање изрази, проширете ги за да им ги направите именителите исти. Множење на 48 со \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Бидејќи \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} и \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} имаат ист именител, соберете ги со собирање на нивните именители.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 4 со \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Пресметајте колку е 2 на степен од 2 и добијте 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Помножете 48 и 4 за да добиете 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Зголемување на \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Квадрат на \sqrt{3} е 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Пресметајте колку е 2 на степен од 2 и добијте 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Изразете ја 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} како една дропка.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Скратете ги 4 и 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Квадрат на \sqrt{3} е 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Помножете 16 и 3 за да добиете 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Комбинирајте x^{2}\times 3 и x^{2} за да добиете 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Одземете 624 од двете страни.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Одземете 624 од 192 за да добиете -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 4 за a, 48 за b и -432 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Квадрат од 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -4 со 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Множење на -16 со -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Собирање на 2304 и 6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Вадење квадратен корен од 9216.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

Множење на 2 со 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-48±96}{8} кога ± ќе биде плус. Собирање на -48 и 96.

$$x=\frac{48}{8}$$

Делење на 48 со 8.

$$x=6$$

Сега решете ја равенката x=\frac{-48±96}{8} кога ± ќе биде минус. Одземање на 96 од -48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

Делење на -144 со 8.

$$x=-18$$

Равенката сега е решена.

$$x=6 x=-18$$

Чекори за пополнување на квадратот

Помножете ги двете страни на равенката со 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Квадрат на \sqrt{3} е 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Помножете 16 и 3 за да добиете 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Избришете го најголемиот заеднички фактор 2 во 8 и 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

За да се подигне \frac{x\sqrt{3}}{2} на степен, подигнете ги и броителот и именителот на тој степен и потоа поделете.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

За собирање или одземање изрази, проширете ги за да им ги направите именителите исти. Множење на 48 со \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Бидејќи \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} и \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} имаат ист именител, соберете ги со собирање на нивните именители.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Користете го дистрибутивното својство за да помножите 4 со \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Пресметајте колку е 2 на степен од 2 и добијте 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Помножете 48 и 4 за да добиете 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Зголемување на \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Квадрат на \sqrt{3} е 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Пресметајте колку е 2 на степен од 2 и добијте 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Изразете ја 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} како една дропка.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Скратете ги 4 и 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Квадрат на \sqrt{3} е 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Помножете 16 и 3 за да добиете 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Комбинирајте x^{2}\times 3 и x^{2} за да добиете 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Одземете 192 од двете страни.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

Одземете 192 од 624 за да добиете 432.

$$4x^{2}+48x=432$$

Поделете ги двете страни со 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

Ако поделите со 4, ќе се врати множењето со 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

Делење на 48 со 4.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

Делење на 432 со 4.

$$x^{2}+12x=108$$

Поделете го 12, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете 6. Потоа додајте го квадратот од 6 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

Квадрат од 6.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Собирање на 108 и 36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

Фактор x^{2}+12x+36. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Поедноставување.

$$x+6=12 x+6=-12$$

Одземање на 6 од двете страни на равенката.

$$x=6 x=-18$$