Решете (3+r)^2+(15+r)^2=18^2

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

Реши за r

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2,22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20,22497216$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Соберете 9 и 225 за да добиете 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Комбинирајте 6r и 30r за да добиете 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Комбинирајте r^{2} и r^{2} за да добиете 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Пресметајте колку е 18 на степен од 2 и добијте 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Одземете 324 од двете страни.

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

Одземете 324 од 234 за да добиете -90.

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$2r^{2}+36r-90=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 2 за a, 36 за b и -90 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Квадрат од 36.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Множење на -4 со 2.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Множење на -8 со -90.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

Собирање на 1296 и 720.

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

Вадење квадратен корен од 2016.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

Множење на 2 со 2.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

Сега решете ја равенката r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} кога ± ќе биде плус. Собирање на -36 и 12\sqrt{14}.

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

Делење на -36+12\sqrt{14} со 4.

$$r=3\sqrt{14}-9$$

Сега решете ја равенката r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} кога ± ќе биде минус. Одземање на 12\sqrt{14} од -36.

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

Делење на -36-12\sqrt{14} со 4.

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

Равенката сега е решена.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Соберете 9 и 225 за да добиете 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Комбинирајте 6r и 30r за да добиете 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Комбинирајте r^{2} и r^{2} за да добиете 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Пресметајте колку е 18 на степен од 2 и добијте 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Одземете 234 од двете страни.

$$36r+2r^{2}=324-234$$

Одземете 234 од 324 за да добиете 90.

$$36r+2r^{2}=90$$

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+36r=90$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

Ако поделите со 2, ќе се врати множењето со 2.

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

Делење на 36 со 2.

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

Делење на 90 со 2.

$$r^{2}+18r=45$$

Поделете го 18, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете 9. Потоа додајте го квадратот од 9 на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

Квадрат од 9.

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

Собирање на 45 и 81.

$$r^{2}+18r+81=126$$

Фактор r^{2}+18r+81. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

Поедноставување.

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

Одземање на 9 од двете страни на равенката.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$