Решете (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Реши за x

$$x=8$$

$$x=15$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Комбинирајте x^{2} и x^{2} за да добиете 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Пресметајте колку е 17 на степен од 2 и добијте 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Одземете 289 од двете страни.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Одземете 289 од 529 за да добиете 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Прераспоредете го полиномот за да го ставите во стандардна форма. Распоредете ги членовите почнувајќи од највисокиот да најнискиот степен.

$$x^{2}-23x+120=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како x^{2}+ax+bx+120. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е негативно, и a и b се негативни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Решението е парот што дава збир -23.

$$a=-15 b=-8$$

Препиши го x^{2}-23x+120 како \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Исклучете го факторот x во првата група и -8 во втората група.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-15 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-15=0 и x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Комбинирајте x^{2} и x^{2} за да добиете 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Пресметајте колку е 17 на степен од 2 и добијте 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Одземете 289 од двете страни.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Одземете 289 од 529 за да добиете 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Сите равенки што ја имаат формата ax^{2}+bx+c=0 може да се решат со формулата за квадратна равенка: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за квадратна равенка дава две решенија, едно кога ± е собирање, а друго кога е одземање.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 2 за a, -46 за b и 240 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Квадрат од -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Множење на -4 со 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Множење на -8 со 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Собирање на 2116 и -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Вадење квадратен корен од 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

Спротивно на -46 е 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Множење на 2 со 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{46±14}{4} кога ± ќе биде плус. Собирање на 46 и 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Делење на 60 со 4.

$$x=15$$

Сега решете ја равенката x=\frac{46±14}{4} кога ± ќе биде минус. Одземање на 14 од 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Делење на 32 со 4.

$$x=8$$

Равенката сега е решена.

$$x=15 x=8$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Комбинирајте x^{2} и x^{2} за да добиете 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Пресметајте колку е 17 на степен од 2 и добијте 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Одземете 529 од двете страни.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Одземете 529 од 289 за да добиете -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Квадратните равенки како оваа може да се решат со пополнување на квадратот. За да го пополните, равенката прво мора да биде во формата x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Поделете ги двете страни со 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Ако поделите со 2, ќе се врати множењето со 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Делење на -46 со 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Делење на -240 со 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Поделете го -23, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{23}{2}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{23}{2} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{23}{2} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Собирање на -120 и \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Фактор x^{2}-23x+\frac{529}{4}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Додавање на \frac{23}{2} на двете страни на равенката.

$$x=15 x=8$$