Решете (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Реши за x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=7$$

Чекори за употреба на факторирање со групирање

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

За да го најдете спротивното на x^{2}+10x+25, најдете го спротивното на секој термин.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Комбинирајте 4x^{2} и -x^{2} за да добиете 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Комбинирајте -12x и -10x за да добиете -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Одземете 25 од 9 за да добиете -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Додај 23 на двете страни.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Соберете -16 и 23 за да добиете 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

За да ја решите равенката, факторирајте ја левата страна со групирање. Прво, левата страна треба да се препише како 3x^{2}+ax+bx+7. За да ги најдете a и b, поставете систем за решавање.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Бидејќи ab е позитивно, a и b го имаат истиот знак. Бидејќи a+b е негативно, и a и b се негативни. Наведете ги сите парови цели броеви што даваат производ 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Пресметајте го збирот за секој пар.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Решението е парот што дава збир -22.

$$a=-21 b=-1$$

Препиши го 3x^{2}-22x+7 како \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

Исклучете го факторот 3x во првата група и -1 во втората група.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Факторирај го заедничкиот термин x-7 со помош на дистрибутивно својство.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

За да најдете решенија за равенката, решете ги x-7=0 и 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Чекори за користење на формулата за квадратна равенка

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

За да го најдете спротивното на x^{2}+10x+25, најдете го спротивното на секој термин.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Комбинирајте 4x^{2} и -x^{2} за да добиете 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Комбинирајте -12x и -10x за да добиете -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Одземете 25 од 9 за да добиете -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Додај 23 на двете страни.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Соберете -16 и 23 за да добиете 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Оваа равенка е во стандардна форма: ax^{2}+bx+c=0. Ставете 3 за a, -22 за b и 7 за c во формулата за квадратна равенка \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Квадрат од -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Множење на -4 со 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Множење на -12 со 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Собирање на 484 и -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Вадење квадратен корен од 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

Спротивно на -22 е 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Множење на 2 со 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Сега решете ја равенката x=\frac{22±20}{6} кога ± ќе биде плус. Собирање на 22 и 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Делење на 42 со 6.

$$x=7$$

Сега решете ја равенката x=\frac{22±20}{6} кога ± ќе биде минус. Одземање на 20 од 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Намалете ја дропката \frac{2}{6} до најниските услови со извлекување и откажување на 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Равенката сега е решена.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Чекори за пополнување на квадратот

Користете ја биномната теорема \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} за проширување на \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Користете ја биномната теорема \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} за проширување на \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

За да го најдете спротивното на x^{2}+10x+25, најдете го спротивното на секој термин.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Комбинирајте 4x^{2} и -x^{2} за да добиете 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Комбинирајте -12x и -10x за да добиете -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Одземете 25 од 9 за да добиете -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Додај 16 на двете страни.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Соберете -23 и 16 за да добиете -7.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Поделете ги двете страни со 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Ако поделите со 3, ќе се врати множењето со 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Поделете го -\frac{22}{3}, коефициентот на членот x, со 2 за да добиете -\frac{11}{3}. Потоа додајте го квадратот од -\frac{11}{3} на двете страни од равенката. Овој чекор ќе ја направи левата страна на равенката совршен квадрат.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Кренете -\frac{11}{3} на квадрат со кревање и на броителот и на именителот на дропката на квадрат.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Соберете ги -\frac{7}{3} и \frac{121}{9} со наоѓање на заедничкиот именител и собирање на броителите. Потоа намалете ја дропката на најмалите членови ако е можно.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Фактор x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. Генерално, кога x^{2}+bx+c е совршен квадрат, може секогаш да се факторира како \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Извадете квадратен корен од двете страни на равенката.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Поедноставување.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Додавање на \frac{11}{3} на двете страни на равенката.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$